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Diferencia entre revisiones de «Interior (topología)»

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{{otros usos|Interior (Dakota del Sur)|otro=Interior (Omán)|los lugares llamados "Interior"}}
Sea <math>(X,\mathcal{T})</math> un [[espacio topológico]], y <math>A \subset X </math>. Se define el '''interior''' de <math>A</math> (notado <math>\mbox{int}(A)</math> o, <math>\stackrel{\ \circ}{A}</math>, o <math>A^\circ</math>) como la unión de todos los [[Conjunto abierto|abiertos]] contenidos en <math>A</math>.<ref>Munkres: Topología. No cabe la adjetivación 'más grande'</ref> Es decir, <math>V=\mbox{int}(A)</math> si y sólo si es ''V'' es abierto, está contenido en ''A'' y todo otro abierto contenido en ''A'' está contenido también en <math>V</math>.
 
== Caracterización ==
Constructivamente, se define <math>\mbox{int}(A)=\cupbigcup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}</math>. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en ''A''.
 
También se puede caracterizar el interior por medio de los [[Entorno (topología)|entornos]], de la siguiente manera: decimos que un punto <math>a \in \mboxtext{int}(A)=\{x\in A: \exists V \subset N_x, V\subset A\} </math>, dondesolamente si <math>N_xA</math> representaes elun conjuntoentorno de todoseste lospunto. entornosEs deldecir, puntosi existe un abierto <math>xO\in \mathcal{T}</math>. Ende [[Espaciotal métrico|espaciosmanera métricos]]que se<math>a\in puedeO explicitar\subseteq aúnA</math>. más:Si <math>(X,\mboxmathcal{intT}(A)=\{x</math> \inconsiste X:en \existsun \epsilonespacio >0metrico, B(x,se \epsilon)puede \subsetdesarrollar Aaún \} </math>.más:
* Otra posibibildad considerenado el int(A) como el conjunto de todos los puntos interiores de A. Un punto h de A es interior de A si existe un abierto del cual es miembro h, y este abierto está contenido en A. Simbólicamente h ∈ H ⊂ A, donde H es abierto.<ref>Ayala y otros: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0</ref>
 
: <math>\text{int}(A) = \{a\in A \,\,\vert\,\, \exists \epsilon > 0, B_\epsilon(a)\subset A\}</math>
 
En este caso, un punto <math>a\in A</math> es parte del interior de <math>A</math> solamente si existe una [[Bola (matemática)|bola abierta]] centrada en el punto <math>a</math> con radio <math>\epsilon >0</math>, ósea radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).
=== Ejemplo ===
Sea <math>X = ℝ<sup>\mathbb{R}^2</supmath>. Para cada punto del plano consideramos su vecindad el disco abierto de centro en él y radio r real positivo.
: Considérese el conjunto A = {P (x,y}/ 3 < |x |+ | y|< 5}; sus puntos están entre dos rombos cuadrados con centro en el origen.
: Todo punto de A es punto interior de A. Por lo que A es abierto, también A = int(A).<ref>Adaptación de Haaser y otros: Análisis matemático II</ref>
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== Propiedades ==
Las siguientes son las principales propiedades del interior:
# <math>\text{int}(A) ⊂\subset A</math><ref>El interior es la unión de todos los abiertos contenidos en A</ref>
# <math>A</math> es abierto si y sólo si <math>\mbox{int}(A)=A</math>
# <math>\mbox{int}(\mbox{int}(A))= \mbox{int}(A)</math>
# <math>A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B) </math>
# <math>\mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X</math> (pues ambos son conjuntos abiertos y cerrados)
# <math>\mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)</math>
# <math>\mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B) </math> (pudiendo ser estricto)
# <math>\mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,</math>
# El interior de <math>A</math>, la frontera de <math>A</math> y el exterior de <math>A</math> constituyen una partición de <math>X</math>. Es decir: <math>\partial A \cup \text{int}(A) \cup (X-A) = X</math> y <math>\partial A \cap \text{int}(A) = \varnothing</math>, <math>\partial A \cap (X-A) = \varnothing</math>, y <math>\text{int}(A)\cap (X-A) = \varnothing</math><ref>La unión de los tres es X, la intersección de cualquier dos de ellos es ∅</ref>
 
Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya [[Adherencia (topología)|adherencia]] es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales <math>\mathbb{I}</math> y los racionales <math>\mathbb{Q} </math> en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.<ref>Ningún elemento de ℚ es punto interior de él</ref>
 
== Notas y referencias ==
Obtenido de «https://es.wikipedia.org/wiki/Interior_(topología)»