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Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo (editar)
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Del mismo modo, <math> (s-a)r_a = \Delta</math> da: <math> r_a^2 = \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}</math> y :<math> r_a = \sqrt{ \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a} } .</math><ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=79}}</ref>
A partir de estas fórmulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más grande y la más chica es la tangente al lado más chico.
La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, con la igualdad solo para el [[Triángulo equilátero]].<ref>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.</ref>
=== Triángulo y punto Gergonne ===
[[Image:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|right|frame|200px|triángulo, Δ''ABC'', con circunferencia inscrita (azul), incentro (azul, ''I''), triángulo de contacto (rojo, Δ''T''<sub>''a''</sub>''T''<sub>''b''</sub>''T''<sub>''c''</sub>) y punto Gergonne (verde, Ge)]]
El '''Triángulo de Gergonne''' (de ''ABC'') está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados.
Este '''Triángulo de Gergonne''' ''T<sub>A</sub>T<sub>B</sub>T<sub>C</sub>'' también se conoce como '''triángulo de contacto''' o '''triángulo en contacto''' con ''ABC''.
Los tres segmentos ''AT<sub>A</sub>'', ''BT<sub>B</sub>'' y ''CT<sub>C</sub>'' se intersecan
Curiosamente, el punto Gergonne del triángulo es el
| last = Dekov
| first = Deko
===Triángulo y punto de Nagel ===
El '''Triángulo de Nagel''' de ''ABC'' es notado por los vértices ''X<sub>A</sub>'', ''X<sub>B</sub>'' y ''X<sub>C</sub>'' que son los tres puntos donde la circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ''ABC'' y donde ''X<sub>A</sub>'' es el opuesto al vértice ''A'', etc. Este triángulo ''X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>'' se conoce como el '''triángulo explícito''' de ''ABC''. La circunferencia circunscrita del triángulo explícito ''X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>'' es llamada '''Círculo Mandart'''.Los tres segmentos ''AX<sub>A</sub>'', ''BX<sub>B</sub>'' y ''CX<sub>C</sub>'' se denominan [[Divisor (geometría)|divisores]] del triángulo; cada uno de ellos bisecan el perímetro del triángulo, y ellos se intersecan en un solo punto, el Punto Nagel del triángulo''Na'' - [[Elementos notables de un triángulo|''X(8)'']].
Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por
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