Diferencia entre revisiones de «Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo»

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Del mismo modo, <math> (s-a)r_a = \Delta</math> da: <math> r_a^2 = \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}</math> y :<math> r_a = \sqrt{ \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a} } .</math><ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=79}}</ref>
 
A partir de estas fórmulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más grande y la más chica es la tangente al lado más chico. MasMás lejos, combinando estas fórmulas:<ref>Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano," ''Annals of Mathematics'', part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)</ref> :<math>\Delta=\sqrt{rr_ar_br_c}.</math>
 
La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, con la igualdad solo para el [[Triángulo equilátero]].<ref>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.</ref>
 
=== Triángulo y punto Gergonne ===
[[Image:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|right|frame|200px|triángulo, Δ''ABC'', con circunferencia inscrita (azul), incentro (azul, ''I''), triángulo de contacto (rojo, Δ''T''<sub>''a''</sub>''T''<sub>''b''</sub>''T''<sub>''c''</sub>) y punto Gergonne (verde, Ge)]]
 
El '''Triángulo de Gergonne''' (de ''ABC'') está definido por los 3 puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los 3 lados.
Este '''Triángulo de Gergonne''' ''T<sub>A</sub>T<sub>B</sub>T<sub>C</sub>'' también se conoce como '''triángulo de contacto''' o '''triángulo en contacto''' con ''ABC''.
 
Los tres segmentos ''AT<sub>A</sub>'', ''BT<sub>B</sub>'' y ''CT<sub>C</sub>'' se intersecan en un solo punto llamado '''punto de Gergonne''', anotado como ''Ge'' - [[Elementos notables de un triángulo|''X(7)'']]. El punto de Gergonne se encuentra a la intemperie disco orthocentroidal perforado en su propio centro , y podría ser cualquier punto en él.<ref name=Bradley>Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''[[Forum Geometricorum]]'' 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html </ref>
 
Curiosamente, el punto Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto Gergonne ver.<ref>{{Cite journal
| last = Dekov
| first = Deko
 
===Triángulo y punto de Nagel ===
El '''Triángulo de Nagel''' de ''ABC'' es notado por los vértices ''X<sub>A</sub>'', ''X<sub>B</sub>'' y ''X<sub>C</sub>'' que son los tres puntos donde la circunferencia exinscrita toca al triángulo de referencia ''ABC'' y donde ''X<sub>A</sub>'' es el opuesto al vértice ''A'', etc. Este triángulo ''X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>'' se conoce como el '''triángulo explícito''' de ''ABC''. La circunferencia circunscrita del triángulo explícito ''X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub>'' es llamada '''Círculo Mandart'''.Los tres segmentos ''AX<sub>A</sub>'', ''BX<sub>B</sub>'' y ''CX<sub>C</sub>'' se denominan [[Divisor (geometría)|divisores]] del triángulo; cada uno de ellos bisecan el perímetro del triángulo, y ellos se intersecan en un solo punto, el Punto Nagel del triángulo''Na'' - [[Elementos notables de un triángulo|''X(8)'']].
 
Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por
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