Diferencia entre revisiones de «Descomposición de Schmidt»

En [[álgebra lineal]], la '''descomposición de Schmidt ''' (nombrada por su inventor [[Erhard Schmidt]]) es una manera particular de expresar un [[vector]] en el [[Producto tensorial|producto de tensorial]] de dos [[Espacio prehilbertiano|espacios de producto interior]]. Tiene numerosas aplicaciones en [[Computación cuántica|teoría de información cuántica]], por ejemplo en caracterización del [[entrelazamiento cuántico]] y en [[Purificación de estados cuánticos|purificación de estados]], y en [[Plasticidad (mecánica de sólidos)|plasticidad]].

Sean <math>H_1</math> y <math>H_2</math> y [[espacios de Hilbert]] de [[dimensiones]] n y m respectivamente. Se supone que <math>n \geq m</math>. Para cualquier vector en el espacio producto tensorial <math>H_1 \otimes H_2</math>, existen conjuntos ortonormales y  .w <math>\{ u_1, \ldots, u_m \} \subset H_1</math> y <math>\{ v_1, \ldots, v_m \} \subset H_2</math> tales que <math>w= \sum_{i =1} ^m \alpha _i u_i \otimes v_i</math>, donde los escalares <math>\alpha_i</math> son reales no-negativos, y, los conjuntos están determinados unívocamente por <math>w</math>.

puede ser visto como la matriz <math>n x\times m</math>

Por la descomposición de valores singulares, existen una matriz unitaria <math>n ×\times n</math> <math>U</math>, una matriz unitaria ''<math>m''\times × ''m''</math> <math>V</math>, y una matriz diagonal semidefinida positiva <math>m ×\times m</math> Σ<math>\Sigma</math> taltales que

Escribiendo <math>U =\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}</math> donde <math>U_1</math> es <math>n ×\times m</math> tenemos

Sean <math>\{ u_1, \ldots, u_m \}</math> los primeros m vectores columna de <math>U_1</math>, <math>\{ v_1, \ldots, v_m \}</math> los vectores columna de <math>V</math>, y <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_m</math> los elementos diagonales de Σ<math>\Sigma</math>. La expresión anterior es entonces

Considerar un vector ''<math>w'' </math> del producto tensorial

Formando la matriz de rango 1 ''ρ''<math>\rho = ''w'' w^*</math>, la [[traza parcial]] de ''ρ''<math>\rho</math> con respetar a cualquier sistema ''A'' o ''B'', es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales no nulos onson <math>|αi \alpha_i|^2</math>. En otras palabras, la descomposición de Schmidt muestra que el estado reducido de ''ρ''<math>\rho</math> en cualquier subsistema tiene el mismo espectro.

Los valores estrictamente positivos ''<math>\alpha_i</math> ''en la descomposición de Schmidt de <math>w</math> son sus '''coeficientes de Schmidt'''''.'' El número de coeficientes de Schmidt de <math>w</math>, contados con su multiplicidad, se denomina '''rango de Schmidt''', o '''número de Schmidt'''.

Si ''<math>w''</math> se puede expresar como producto

entonces ''<math>w''</math> es un [[:en:Separable_state|estado separable.]] En caso coontrario, <math>w</math> está en un [[Entrelazamiento cuántico|estado entrelazado.]] De la descomposición de Schmidt podemos ver que <math>w</math> está entrelazado si y sólo si ''<math>w''</math> tiene rango de Schmidt estrictamente mayor que 1. Por tanto, dos subsistemas que forman un estado puro están entrelazados si y sólo si sus estados reducidos son estados mixtos.

Una consecuencia de lo anterior es que, para estados bipartitos puros, la [[:en:Von_Neumann_entropy|entropía de von Neumann]] de los estados reducidos es una medida bien definida del [[Entrelazamiento cuántico|entrelazamiento.]] La entropía de von Neumann de ambos estados reducidos de ρ<math>\rho</math> es <math>S=-\sum_i |\alpha_i|^2 \log|\alpha_i|^2</math> , y esto es cero si y sólo si ρ<math>\rho</math> es un estado producto (no entrelazado).

* Pathak, Anirban (2013). {{Plantilla:Cita libro|first = Anirban|last = Pathak|title = Elements of Quantum Computation and Quantum Communication|location = London|publisher = Taylor & Francis|year = 2013|isbn = 978-1-4665-1791-2|url = {{Google books |plainurl=yes |id=cEPSBQAAQBAJ |page=92}}|pages = 92–98}} {{Plantilla:Cita libro|first = Anirban|last = Pathak|title = Elements of Quantum Computation and Quantum Communication|location = London|publisher = Taylor & Francis|year = 2013|isbn = 978-1-4665-1791-2|url = {{Google books |plainurl=yes |id=cEPSBQAAQBAJ |page=92}}|pages = 92–98}}