Diferencia entre revisiones de «Orden total»
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Un conjunto dotado de un orden total se denomina '''conjunto totalmente ordenado''', '''linealmente ordenado''', '''simplemente ordenado''', o '''cadena'''.
Nótese que la condición de ''totalidad'' implica [[relación reflexiva|reflexividad]], esto es, ''a'' ≤ ''a'' para todo ''a'' ∈ ''X''; por lo tanto, un orden total es también un [[orden parcial]], esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", [[Id est|i.e.]] que cumpla con la condición de totalidad.
Como alternativa, se puede definir un conjunto totalmente ordenado como un tipo particular de [[retículo (orden)|retículo]], en el que se tiene {a ∨ b, a ∧ b} = {a, b} para cualesquiera ''a'', ''b''. Se escribe entonces ''a'' ≤ ''b'' [[si y solo si]] ''a'' = ''a'' ∧ ''b''. Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es un [[retículo distributivo]].
Línea 21:
Para cada orden total (no estricto) ≤ hay asociada una [[relación asimétrica]] (y por tanto irreflexiva) <, llamada '''orden total estricto''', que puede definirse de dos maneras equivalentes:
* ''a'' < ''b'' [[ssi]] ''a'' ≤ ''b'' y ''a'' ≠ ''b''.
* ''a'' < ''b'' ssi no ''b'' ≤ ''a'' ([[Id est|i.e.]], < es la inversa del complemento de ≤).
El orden total estricto tiene las siguientes propiedades, para cualesquiera ''a'', ''b'', y ''c'' en ''X'':
Línea 38:
* Las letras del alfabeto con el orden alfabético usual: ''A'' < ''B'' < ''C'' < X
* Cualquier [[subconjunto]] de un conjunto totalmente ordenado, restringiendo a él, el orden del conjunto completo.
* Todo [[conjunto parcialmente ordenado]] ''X'' donde cualesquiera dos elementos se pueden comparar ([[Id est|i.e.]] para todo par de elementos ''a'' y ''b'' en ''X'', ''a'' ≤ ''b'' o ''b'' ≤ ''a'').
* Todo conjunto de [[número cardinal|números cardinales]] o [[Número ordinal (teoría de conjuntos)|números ordinales]] (más aún, éstos son [[conjunto bien ordenado|bien ordenados]]).
* Si ''X'' es un conjunto y ''f'' una [[función inyectiva]] de ''X'' a un conjunto totalmente ordenado, ''f'' induce un orden total en ''X'' tomando ''x'' < ''y'' si y solo si ''f''(''x'') < ''f''(''y'').
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