Diferencia entre revisiones de «Teorema de Sturm»

:A partir de un polinomio dado <math>f(x)\,</math>, supongamosse suponen los siguientes polinomios <math>f_1(x),f_2(x),f_3(x),...,f_r(x)\,\!</math> cumpliendo lo siguiente:

:::::{{ecuación|<math>f_1(x)=f'(x)\,\!</math>}}

:::::{{ecuación|<math>f(x)=q_1f_1(x)-f_2(x)\,\!</math>}}

:::::{{ecuación|<math>f_1(x)=q_2f_2(x)-f_3(x)\,\!</math>}}

:Para todo número real que no sea una raíz de <math>f(x)\,</math>, sea <math>v(a)\,</math> el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica:

Establecido este concepto, consideremosconsidérese una ecuación <math>f(x)=0\,</math> de grado <math>n\,</math> que supondremosse supondrá que ''admite únicamente simples'' (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tienen las mismas raíces, pero simples. Este hecho se comprueba porque <math>f_r(x)\,</math> en la cadena anterior, es el [[máximo común divisor]] de cualquier par de polinomios de la misma. Por ello, al dividir todos los polinomios por <math>f_r(x)\,</math> conseguimosse consegue rebajar los órdenes de multiplicidad de las raíces a uno.

Pero supongamossupóngase ahora que <math>x_q\,</math> es raíz de <math>f_k, k=1,2,...,r\,</math>. Por lo visto antes, si <math>f_k(x_q)=0 \Rightarrow f_{k-1}(x_q)\,</math> y <math>f_{k+1}(x_q)\,</math> son distintos de cero y, por tanto lo son en <math>(x_{q-1},x_q]\,</math> y <math>[x_q,x_{q+1})\,</math>. Tenemos, pues, la siguiente situación:

:::::{{ecuación|<math>f_kf_{k+1}(x_q) \not= 0\,</math>}}

:::::{{ecuación|<math>f_{k+-1}(x_q) \not= 0\,</math>}}

:::::{{ecuación|<math>f_\forall x \in (x_{kq-1}(x_q,x_{q+1}) \not= 0\,</math>}}

Ahora consideremosconsidérese que <math>x_q\,</math> es raíz de <math>f(x)\,</math>. Por tanto será raíz simple de <math>f_0(x)\,</math>. Según el algoritmo, <math>f_1(x)\,</math> y <math>f_2(x)\,</math> tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz <math>x_q\,</math>. Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de <math>x_q\,</math>) la función <math>f_0(x)\,</math> toma signos iguales que <math>f_1(x)\,</math> y <math>f_2(x)\,</math>, al pasar <math>x\,</math> por el cero de <math>f_0(x)=f(x)\,</math>,esto es, <math>x_q\,</math>, entonces <math>f(x)\,</math> tomará distintos valores que <math>f_1(x)\,</math> y <math>f_2(x)\,</math> al otro lado de la raíz <math>x_q\,</math>. A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo. Lo cuál quiere decir ahora que <math>v(b)-v(a)=1\,</math> y, por tanto, hay variación neta de signo al pasar por una raíz de <math>f_0(x)\,</math> es decir, por <math>f(x)\,</math>.