Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

40 bytes eliminados ,  hace 5 años
m
reorganización
m (reorganización)
 
== Definición ==
 
=== Definición general ===
La definición moderna de compacidad requiere primero especificar la noción de [[recubrimiento abierto]]:
{{definición|1=Un '''recubrimiento abierto''' de un subconjunto ''A'' ⊆ ''X'' de un [[espacio topológico]], es una [[familia de conjuntos]] [[conjunto abierto|abiertos]] {''O<sub>i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> de ''X'', tales que su [[unión de conjuntos|unión]] "cubre" a ''A'' :
{{definición|1=Un [[espacio topológico]] ''X'' se dice '''compacto''' si, dado un recubrimiento abierto de ''X'' cualquiera, existe un subrecubrimiento [[finito]] del mismo.}}
 
'''===Ejemplos.'''===
* El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ '''R''' con la topología heredada de la estándar de '''R''' es compacto. Dado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —puesto que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. Por tanto, dado un recubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
* El [[intervalo abierto]] (0, 1) ⊆ '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). La familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un recubrimiento abierto del intervalo, pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás —buscando aquel con ''k'' mínimo—. Como 1 − 1/''p'' no está en (0, 1 − 1/''k'') si ''p'' > ''k'', ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).
=== Compacidad en espacios métricos ===
 
Un subconjunto ''A'' de un [[espacio métrico]] y, en particular, del [[espacio euclídeo]] <math>\mathbb{R}^n</math>, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: ''toda sucesión en <math>''A</math>'' admite una subsucesión convergente''.
 
== Ejemplos ==
 
* El ejemplo de bandera y sencillo de subconjunto compacto de la recta euclídea es un [[intervalo cerrado]] [a,b]de la misma ( Teorema de ''Heine-Borel'').<ref>Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0</ref>
* Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del [[espacio euclídeo]]. Cualquier círculo en el plano euclídeo, por ejemplo particular.
* Todo espacio X cofinito es compacto.<ref>Ayala-Donínguez-Quintero: Ibídem, pág. 231</ref>
474

ediciones