Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

105 bytes añadidos ,  hace 5 años
sin resumen de edición
En [[topología]], un '''espacio compacto''' es un [[espacio topológico|espacio]] que tiene propiedades similares a un [[conjunto finito]], en cuanto a que las [[sucesión matemática|sucesiones]] contenidas en un conjunto finito siempre contienen una [[subsucesión]] convergente. La propiedadnoción de '''compacidad''' es una versión más fuertegeneral de esta propiedad.
 
Un '''conjunto compacto''' es un subconjunto de un espacio topológico, que como subespacio topológico (con la topología inducida) es en sí mismo un espacio topológico compacto.
=== Compacidad en espacios métricos ===
 
Un subconjunto ''A'' de un [[espacio métrico]] y, en particular, del [[espacio euclídeo]] <math>\mathbb{R}^n</math>, es compacto si cumple alguna de las cuatro condiciones de la definición general. No obstante, la tercera de ellas admite la siguiente reescritura en este contexto: ''toda sucesión en ''A'' admite una subsucesión convergente''.
 
== Ejemplos ==
 
* El ejemplo de bandera y sencillo de subconjunto compacto de la recta euclídea es un [[intervalo cerrado]] [a,b] de la misma (Teorema de ''Heine-Borel'').<ref>Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0</ref>
* Más generalmente, también lo es cualquier conjunto cerrado y acotado del [[espacio euclídeo]]. Cualquier círculo en el plano euclídeo, por ejemplo particular.
* Todo espacio X cofinito es compacto.<ref>Ayala-Donínguez-Quintero: Ibídem, pág. 231</ref>
* Un ejemplo de espacio no compacto es la [[recta real]], pues no es acotada y contiene sucesiones que tienden a infinito. Además ninguna subfamilia finita del recubrimiento de abiertos {(-n, n): ''n'' es n. natural} recubre la recta real.
* Tampoco es compacto el conjunto de los [[números racionales]]. En efecto, puesuna unosucesión puedede acercarseracionales arbitrariamenteque converge a puntosun queirracional (al ser vista como sucesión en los reales) no tiene ninguna subsucesión convergente a un faltanracional.
 
== Teoremas asociados a la compacidad ==
69

ediciones