Diferencia entre revisiones de «Elemento mayorante y minorante»
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En [[matemáticas]], particularmente en [[teoría del orden]] y [[teoría de conjuntos|de conjuntos]], el '''mayorante''' o '''cota superior''' de un [[subconjunto]] ''B'' de un [[conjunto parcialmente ordenado]] ''A'' es un elemento de ''A'' mayor o igual que cualquier elemento de ''B''.
== Ejemplo ==
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Así dado el conjunto ''A'':
: <math>
A=
\{ a,b,c,d,e,f,g,h \}
</math>
Para el conjunto ''A'' en el que se ha definido una [[relación binaria]] <math> \precsim </math> entre sus elementos, que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> y siendo ''x'' e ''y'' elementos de ''A'' la relación se representa:
: <math>
x \precsim y
</math>
que se lee: ''x'' antecede a ''y''.
Si la relación <math> (A, \precsim) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un [[conjunto parcialmente ordenado]].
Si se cumple que:
: <math>
x \precsim y
\quad \lor \quad
y \precsim x
</math>
el elemento ''x'' antecede a ''y'' o ''y'' antecede a ''x'', se dice que ''x'' y ''y'' son elementos ''comparables''.
Si se cumple que:
: <math>
x \not \precsim y
\quad \land \quad
y \not \precsim x
</math>
el elemento ''x'' no antecede a ''y'' y que ''y'' no antecede a ''x'', se dice que ''x'' y ''y'' son ''no comparables''.
Dado el conjunto ''B'' subconjunto de ''A''
: <math>
B \subset A
</math>
: <math>
B=
\{ a,b,c,e \}
</math>
Los mayorantes de ''B'' son todos los elementos de ''A'' que son antecedidos por todos los elementos de ''B'', en este caso: ''c'' y ''f'' son mayorantes de ''B
En el ejemplo ''h'' no es mayorante de ''B'' al ser no comparable con ''c''.
== Otras definiciones ==
[[Archivo:Orden 06.svg|derecha|260px]]
Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto ''A'' en el que se ha definido una relación binaria: <math> (A, \precsim) </math>, siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.
Dado el conjunto ''C'' subconjunto de ''A''
: <math>
C \subset A
</math>
Se denomina '''[[Supremo (matemáticas)|supremo]]''' de ''C'' a la menor de estas cotas superiores. en el ejemplo ''i'' es supremo de ''C''
[[Archivo:Orden 09.svg|derecha|260px]]
Dado el conjunto ''F'' subconjunto de ''A''
: <math>
F \subset A
</math>
Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto ''A'' sino también a ''F'' se denomina '''[[Elemento máximo|máximo]]''' de ''F''. En el ejemplo ''d'' es el máximo de ''F''
== Ejemplos ==
* Para el [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] de [[número real|números reales]] ''(0; 10]'': ''10'' y ''11'' son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
* <math>[0_{}^{},+\infty)</math> no tiene mayorante en <math>\mathbb{R}</math>.
== Minorante ==
En [[matemáticas]], particularmente en [[teoría del orden]] y [[teoría de conjuntos|de conjuntos]], el '''minorante''' o '''cota inferior''' de un [[subconjunto]] ''S'' de un [[conjunto parcialmente ordenado]] ''P'' es un elemento de ''P'' menor o igual que cualquier elemento de ''S''.
Entre todos los minorantes o cotas inferiores del conjunto P, se denomina '''[[ínfimo]]''' de S a la mayor de estas cotas inferiores. Si, además el ínfimo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se denomina '''[[Elemento mínimo|mínimo]]''' de S.
=== Ejemplo ===
[[Archivo:Conjunto acotado B27.svg|derecha|260px]]
Así dado el conjunto ''A'':
: <math>
A=
\{ a,b,c,d,e,f,g,h \}
</math>
Para el conjunto ''A'' en el que se ha definido una [[relación binaria]] <math> \precsim </math> entre sus elementos, que expresaremos <math> (A, \precsim) </math> y siendo ''x'' e ''y'' elementos de ''A'' la relación se representa:
: <math>
x \precsim y
</math>
que se lee: ''x'' antecede a ''y''.
Si la relación <math> (A, \precsim) </math> cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un [[conjunto parcialmente ordenado]].
Si se cumple que:
: <math>
x \precsim y
\quad \lor \quad
y \precsim x
</math>
el elemento ''x'' antecede a ''y'' o ''y'' antecede a ''x'', se dice que ''x'' y ''y'' son elementos ''comparables''.
Si se cumple que:
: <math>
x \not \precsim y
\quad \land \quad
y \not \precsim x
</math>
el elemento ''x'' no antecede a ''y'' y que ''y'' no antecede a ''x'', se dice que ''x'' y ''y'' son ''no comparables''.
Dado el conjunto ''B'' subconjunto de ''A''
: <math>
B \subset A
</math>
: <math>
B=
\{ a,b,c,e \}
</math>
Los minorante de ''B'' son todos los elementos de ''A'' que anteceden a todos los elementos de ''B'', en este caso: ''d'' y ''b'' son minorantes de ''B''
En el ejemplo ''g'' no es minorante de ''B'' al ser no comparable con ''b''.
* Para el [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] de [[número real|números reales]] ''(0 ; 10]'': ''0'' y ''-7'' son minorantes. ''0'' sería el ínfimo, pero como no pertenece al intervalo, no sería mínimo del intervalo.
* Para este otro [[intervalo (matemáticas)|intervalo]] de [[número real|números reales]] <math>[0_{}^{},+\infty)</math> ''-5'' y ''-23'' son minorantes, mientras que ''0'' es su ínfimo y también el mínimo ya que pertenece al intervalo.
== Programación ==
Refiere a la propiedad que cumple cierto valor dentro de un conjunto/lista L de valores ordenados. Como ejemplo se encuentra esta definición aplicada a la solución del problema The Playboy Chimp para dar usa solución eficiente en tiempo.
Dado un elemento C que puede o no pertenecer a dicho conjunto. x es cualquier valor de dicho conjunto que puede ser igual a C.
Lower bound: El mayor valor de C que es estrictamente menor. (∃x |x ∈ L: x < C )
Upper bound: El menor valor de C que es estrictamente mayor. (∃x |x ∈ L: x > C )
;Implementación en Python
<source lang = "Python">
def lower_bound(a, c):
#Inferior (Izq) el mas grande de los pequeños
ans = -1
if a[0] >= c: ans = -1
else:
low, hi = 0, len(a)
while low+1 != hi:
mid = low + ((hi-low)//2)
if a[mid] < c: low = mid
else:
hi = mid
ans = low
return ans
def upper_bound(a, c):
#superior (Der) el mas pequeño de los grandes
ans = -1
if a[len(a)-1] <= c: ans = -1
else:
low, hi = 0, len(a)
while low+1 != hi:
mid = low + ((hi-low)//2)
if a[mid-1] > c: hi = mid
else:
low = mid
ans = low
return ans
# El algoritmo retorna el indice que cumple con la definición.
# si retorna -1.. el valor no se puede encontrar en a ; a es una lista ordenada ascendentemente de números natural.
# Se llama así: print( down_bound(L, c), upper_bound(L, c) )
</source>
== Ejemplos de la salida del algoritmo ==
Cada resultado en ''Down bound'' y en ''Upper bound'' es el correspondiente al valor en '''C'''. '''C''' es una lista de números.
'''L''' = [2,3,5,7,12,15] ; ''L es una lista de números naturales''
'''Valor de C''' = ''{1,2,3,5,12,15,16,100}''
'''Down bound''' = ''{-1, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 5}''
'''Upper bound''' = ''{0, 1, 2, 3, 5, -1, -1, -1}''
== Véase también ==
* [[Algoritmo de búsqueda]]
* [[Acotado]]
* [[Elemento maximal y minimal]]
* [[Elemento máximo y mínimo]]
* [[Mayorante]] y [[minorante]]
* [[Supremo (matemáticas)|Supremo]] e [[Supremo (matemáticas)|Ínfimo]]
* [[Elemento mayor y menor]]
== Referencias ==
* {{cita libro |apellido= Birkhoff |nombre=Garrett |enlaceautor=Garrett Birkhoff |título=Lattice Theory |url= |fechaacceso=21 de noviembre de 2010 |idioma=inglés |edición=2da |año=1967 |editorial=American Mathematical Society, Colloquium Publications |ubicación=Estados Unidos |isbn=0-8218-1025-1 |id={{ISSN|0065-9258}} |páginas=423}}
[[Categoría:Teoría del orden]]
[[ca:Fita superior]]
[[da:Undertal]]
[[en:Upper and lower bounds]]
[[he:חסם (מתמטיקה)]]
[[it:Maggiorante e minorante]]
[[nl:Bovengrens en ondergrens]]
[[pl:Kresy dolny i górny]]
[[sv:Uppåt begränsad]]
[[tr:Üst ve alt sınır]]
[[uk:Верхня та нижня межа]]
[[zh:上界和下界]]
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