Diferencia entre revisiones de «Teorema de Heine-Borel»

Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.

 

Si <math>E</math> no es conexo entonces contiene un conjunto {<math>x_n</math>} tal que <math>|x_n | > n</math> entonces el subconjunto {<math>x_n</math>} es finito y tiene un límite en <math>\mathbb{R}^n</math>, lo cual contradice 3).

Si <math>E</math> no es abierto entonces existe un elemento <math>x_0 \in \mathbb{R}^n </math> que es un [[punto de acumulación]] de <math>E</math> pero no está en <math>E</math>. Para <math>n = 1,2,...</math> existen <math>x_n \in E</math> tales que <math>|x_n - x_0| < 1/n</math>, entonces el conjunto {<math>x_n</math>} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).