Diferencia entre revisiones de «Módulo (matemática)»
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{{otros usos|Valor absoluto}}
== Definición ==
Sea ''R'' un [[Anillo (matemática)|anillo]] con identidad y sea 1<sub>''R''</sub> su identidad multiplicativa. Un '''''R''-modulo izquierdo de''' ''M'' es un [[grupo abeliano]] {{nowrap|(''M'', +)}} y una operación {{nowrap|⋅ : ''R'' × ''M'' → ''M''}}tal que para todo ''r'', ''s'' en ''R'', ''x'', ''y'' en ''M'',
# (''rs'')''x'' = ''r''(''sx'')
# (''r''+''s'')''x'' = ''rx''+''sx''
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# 1''x'' = ''x''
Generalmente,
Algunos {{cita requerida|autores}} omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se considera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.
Un '''R''' '''módulo derecho''' ''M'' o ''M''<sub>''R''</sub> se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir
Si ''R'' es [[Conmutatividad|conmutativo]], entonces los ''R''-módulos a la izquierda son lo mismo que ''R''-módulos a la derecha y se llaman simplemente ''R''-módulos.
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* Si ''K'' es un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]], entonces los conceptos "''K''-[[espacio vectorial]]" y ''K''-módulo son idénticos.
* Cada grupo abeliano ''M'' es un módulo sobre el anillo de los [[número entero|números enteros]] '''Z''' si
* Si ''R'' es cualquier anillo y ''n'' un [[número natural]], entonces el [[producto cartesiano]] ''R''<sup>''n''</sup> es un módulo izquierdo y derecho sobre ''R'' si
* Si ''X'' es una [[variedad]] diferenciable, entonces las [[función diferenciable|funciones diferenciables]] de ''X'' a los [[número real|números reales]] forman un anillo ''R''. El conjunto de todos los [[Campo vectorial|campos vectoriales]] diferenciables definidos en ''X'' forman un módulo sobre ''R'', y lo mismo con los [[campo tensorial|campos tensoriales]] y las [[forma diferencial|formas diferenciales]] en ''X''.
* Las ''matrices'' cuadradas ''n''-por-''n'' con entradas reales forman un anillo ''R'', y el [[espacio euclidiano]] '''R''' <sup>''n''</sup> es un módulo izquierdo sobre este anillo si
* Si ''R'' es cualquier anillo e ''I'' es cualquier [[Ideal de un anillo|ideal izquierdo]] en ''R'', entonces ''I'' es un módulo izquierdo sobre ''R''. Análogamente, por supuesto, los ideales derechos son módulos derechos.
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