Diferencia entre revisiones de «Teorema rango-nulidad»
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Línea 12:
:<math>\operatorname{rgo}(T) + \operatorname{nul}(T) = \operatorname{dim}(V).</math>
== Demostración ==
Supongamos que <math>\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\}</math> forma una base del núcleo de ''T''. Podemos extender esto para formar una base de ''V'': <math> \{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m, \mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n\}</math>. Puesto que la dimensión del núcleo de ''T'' es ''m'' y la dimensión de ''V'' es ''m + n'', solo se necesita mostrar que la dimensión de la imagen de ''T'' (''im T'') es n.
Veamos que <math>\{T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \}</math> es una base de ''im T''. Sea ''v'' un vector arbitrario en ''V''. Existen escalares únicos tales que:
: <math>\mathbf{v}=a_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + a_m \mathbf{u}_m + b_1 \mathbf{w}_1 +\cdots + b_n \mathbf{w}_n</math>
: <math>\Rightarrow T\mathbf{v} = a_1 T\mathbf{u}_1 + \cdots + a_m T\mathbf{u}_m + b_1 T\mathbf{w}_1 +\cdots + b_n T\mathbf{w}_n</math>
: <math>\Rightarrow T\mathbf{v} = b_1 T\mathbf{w}_1 + \cdots + b_n T\mathbf{w}_n \; \; \because T\mathbf{u}_i = 0</math>
Por lo tanto, <math>\{T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \}</math> genera ''im T''.
Ahora, solo se necesita mostrar que <math>\{T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \}</math> son [[linealmente independiente|linealmente independientes]]. Podemos hacer esto mostrando que una [[combinación lineal]] de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:
: <math>c_1 T\mathbf{w}_1 + \cdots + c_n T\mathbf{w}_n = 0 \Leftrightarrow T(c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n)=0</math>
: <math>\therefore c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n \in \operatorname{ker} \; T</math>
Entonces, puesto que '''u'''<sub>''i''</sub> genera a ker ''T'', existe un conjunto de escalares ''d<sub>i</sub>'' tales que:
: <math>c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n = d_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + d_m \mathbf{u}_m</math>
Pero, puesto que <math>\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m, \mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n\}</math> forman una base de ''V'', todos los ''c<sub>i</sub>'', ''d<sub>i</sub>'' deben ser cero. Por lo tanto, <math>\{T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \}</math> es linealmente independiente y forma una base de im ''T''. Esto prueba que la dimensión de im ''T'' es ''n'', como se deseaba.
== Véase también ==
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