Diferencia entre revisiones de «Teorema rango-nulidad»

Supongamos que <math>\{\color{red}\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\color{black}\}</math> forma una base del núcleo de ''T''. Podemos extender esto para formar una base de ''V'': <math> \{\color{red}\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\color{black}, \color{blue}\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n\color{black}\}</math>. Puesto que la dimensión del núcleo de ''T'' es ''m'' y la dimensión de ''V'' es ''m + n'', solo se necesita mostrar que la dimensión de la imagen de ''T'' (''im T'') es n.

Veamos que <math>\{\color{blue}T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n\color{black} \}</math> es una base de ''im T''. Sea ''v'' un vector arbitrario en ''V''. Existen escalares únicos tales que:

: <math>\mathbf{v}=\color{red}a_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + a_m \mathbf{u}_m \color{black} +\color{blue} b_1 \mathbf{w}_1 +\cdots + b_n \mathbf{w}_n</math>

: <math>\Rightarrow T\mathbf{v} = \color{red} a_1 T\mathbf{u}_1 + \cdots + a_m T\mathbf{u}_m \color{black} + \color{blue} b_1 T\mathbf{w}_1 +\cdots + b_n T\mathbf{w}_n</math>

: <math>\Rightarrow T\mathbf{v} =\color{blue} b_1 T\mathbf{w}_1 + \cdots + b_n T\mathbf{w}_n \color{black} \; \; \because T \color{red} \mathbf{u}_i \color{black} = 0</math>

Por lo tanto, <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> genera ''im T''.

Ahora, solo se necesita mostrar que <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> son [[linealmente independiente|linealmente independientes]]. Podemos hacer esto mostrando que una [[combinación lineal]] de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

: <math>\color{blue} c_1 T\mathbf{w}_1 + \cdots + c_n T\mathbf{w}_n \color{black} = 0 \Leftrightarrow T( \color{blue} c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n \color{black} )=0</math>

: <math>\therefore \color{blue} c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n \color{black} \in \operatorname{ker} \; T</math>

: <math>\color{blue} c_1 \mathbf{w}_1 + \cdots + c_n \mathbf{w}_n \color{black} = \color{red} d_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + d_m \mathbf{u}_m</math>

Pero, puesto que <math>\{ \color{red} \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m \color{black} , \color{blue} \mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n \color{black} \}</math> forman una base de ''V'', todos los ''c_i'', ''d_i'' deben ser cero. Por lo tanto, <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> es linealmente independiente y forma una base de im ''T''. Esto prueba que la dimensión de im ''T'' es ''n'', como se deseaba.