Diferencia entre revisiones de «Teorema rango-nulidad»

Sea ''T : V → W'' una aplicación lineal. Supongamos que el conjunto <math>\{\color{red}\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\color{black}\}</math> forma una base del núcleo de ''T'' (''ker T''). Podemos extender estoeste conjunto para formar una base de ''V'': <math> \{\color{red}\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\color{black}, \color{blue}\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n\color{black}\}</math>. Puesto que la dimensión del núcleo de ''T'' es ''m'' y la dimensión de ''V'' es ''m + n'', solo se necesita mostrardemostrar que la dimensión de la imagen de ''T'' (''im T'') es n.

Veamos que el conjunto <math>\{\color{blue}T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n\color{black} \}</math> es una base de ''im T''. Sea ''v'' un vector arbitrario en ''V''. Existen escalares únicos tales que:

Por lo tanto, <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> genera la ''im T''.

Ahora, solo se necesita mostrardemostrar que el conjunto <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> sones [[linealmente independiente|linealmente independientes]]. Podemos hacer esto mostrandodemostrando que una [[combinación lineal]] de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

Pero, puesto que el conjunto <math>\{ \color{red} \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m \color{black} , \color{blue} \mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n \color{black} \}</math> formanforma una base de ''V'', todos los escalares {{Font color|blue|''c_i''}}, {{Font color|red|''d_i''}} deben ser cero. Por lo tanto, <math>\{ \color{blue} T\mathbf{w}_1, \ldots, T\mathbf{w}_n \color{black} \}</math> es linealmente independiente y forma una base de im ''T''. Esto prueba que la dimensión de im ''T'' es ''n'', como se deseaba.