Diferencia entre revisiones de «Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo»

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En [[geometría]], la '' '''Circunferencia inscrita''' o '''círculo inscrito''' de un [[triángulo]] es el [[círculo]] más grande contenido en el triángulo; toca (es [[Tangente (geometría)|tangente]] a) los tres lados. El centro de la circunferencia inscrita se llama [[incentro]] <ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=140}}</ref> del triángulo.
 
[[Image:Incircle and Excircles.svg|right|thumb|300px|Triángulo (negro) con circunferencia inscrita (azul), [[incentro]] (I), circunferencia exinscripta (naranja), excentros (J<sub>A</sub>,J<sub>B</sub>,J<sub>C</sub>), interno [[ángulo bisector]] (rojo) y ángulo bisector exterior (verde)]]
El centro de la circunferencia inscrita, llamado '''[[incentro]]''', puede ser encontrado en la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos.<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=73}}</ref><ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=117}}</ref> El centro de una circunferencia exinscrita es la intersección de la bisectriz de un ángulo interno (de vértice ''A'', por ejemplo) y las bisectrices de los otros dos [[Ángulo exterior de un polígono|ángulos exteriores]]. El centro de esa circunferencia se llama '''excentro''' relativo al vértice ''A'', o '''excentro de ''A'''''.<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=73}}</ref> Debido a que la bisectriz interior de un ángulo es perpendicular a la bisectriz del ángulo exterior, se deduce que el centro de la circunferencia inscrita junto con los tres excentros forman un Sistema ortocéntrico.<ref>{{cita libro|apellidos1=Johnson|nombre1=Roger|título=Advanced Euclidean Geometry|fecha=2007|editorial=Dover|fechaacceso=28 de septiembre de 2015}}</ref>
 
Los polígonos<ref>{{cita web|título=Polígonos|url=http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/Poligonos.elp/concepto.html|obra=Plan Ceibal|idioma=Españolespañol|fechaacceso=21 de septiembre de 2015}}</ref> con más de tres lados no todos tienen circunferencias inscritas tangente a todos sus lados; estos se llaman polígonos tangenciales. Ver también rectas tangentes a la circunferencia.<ref>{{cita web|título=Rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior|url=https://www.youtube.com/watch?v=AiqaBAu9CHU|idioma=Españolespañol|fechaacceso=28 de septiembre de 2015}}</ref>.
 
== Relación con el área del triángulo ==
Del mismo modo, <math> (s-a)r_a = \Delta</math> da: <math> r_a^2 = \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}</math> y :<math> r_a = \sqrt{ \frac{s(s-b)(s-c)}{s-a} } .</math><ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1952|p=79}}</ref>
 
A partir de estas fórmulas podemos ver que las circunferencias exisncritas son siempre más grandes que las circunferencias inscritas y la circunferencia exinscrita más grande es la que es tangente al lado más grande y la más chica es la tangente al lado más chico. Más lejos, combinando estas fórmulas::<ref>Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano," ''Annals of Mathematics'', part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134-138. (See also part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18.)</ref> :<math>\Delta=\sqrt{rr_ar_br_c}.</math>
 
La relación del área de la circunferencia inscrita al área del triángulo es menor o igual a <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>, con la igualdad solo para el [[Triángulo equilátero]].<ref>Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.</ref>
Los tres segmentos ''AT<sub>A</sub>'', ''BT<sub>B</sub>'' y ''CT<sub>C</sub>'' se intersecan en un solo punto llamado '''punto de Gergonne''', anotado como ''Ge'' - [[Elementos notables de un triángulo|''X(7)'']]. El punto de Gergonne se encuentra a la intemperie disco orthocentroidal perforado en su propio centro , y podría ser cualquier punto en él.<ref name=Bradley>Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''[[Forum Geometricorum]]'' 6 (2006), 57--70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html </ref>
 
Curiosamente, el punto Gergonne del triángulo es el punto simediano del triángulo de Gergonne. Para un conjunto completo de propiedades del punto Gergonne ver.<ref>{{Citecita journalpublicación
| lastapellido = Dekov
| firstnombre = Deko
| titletítulo = Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point
| journalpublicación = Journal of Computer-generated Euclidean Geometry
| yearaño = 2009
| volumevolumen = 1
| pagespáginas = 1&ndash;14.
| url = http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf}}</ref>
 
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