Diferencia entre revisiones de «Base (álgebra)»

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[[Archivo:Basis graph (no label).pngsvg|thumb|Base estándar en el [[plano cartesiano]].]]
En [[álgebra lineal]], una '''base''' es un conjunto ''B'' del [[espacio vectorial]] ''V'' si se cumplen las siguientes condiciones:
 
 
== Espacios de dimensión finita ==
Como se especificó antes, se denomina espacio vectorial de dimensión finita a todo aquel generado por un conjunto finito de vectores. En este caso puede definirse la dimensión del espacio como el cardinal del conjunto de vectores que constituye la base. Por ejemplo, una [[recta]] homogénea en el plano, es decir que pasa por el origen determinado en este, tiene dimensión uno, por ser su base un único vector.
 
Los [[Subespacio vectorial|subespacios]] de un espacio vectorial de dimensión finita también tienen, al menos, una base, de dimensión menor a la del espacio en el cual están contenidos. Por ejemplo, una [[recta]] homogénea en el plano, es decir que pasa por el origen determinado en este, tiene dimensión uno, por ser su base un único vector. Evidentemente, esta dimensión es menor a la del plano en el cual la recta se encuentra contenida.
 
=== Ejemplos de cálculo ===
[[File:Vec-indep.png|thumb|128px|Tres segmentos orientados no colinealescoplanares son una base del espacio tridimensional.]]
Se indica a continuación, a través de ejemplos, el procedimiento de cálculo de la base de un subespacio vectorial dado.
 
<ol>
 
<li>
Tomemos la recta <math>r = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y = x\right\}</math> en el plano cartesiano. Sea <math>(a,b)</math> uno de sus puntos, cumple <math>b=a</math> por pertenecer al conjunto ''r''. Por lo tanto, puede escribirse
{{Ecuación|1=<math>(a,b) = (a,a) = a(1,1)</math>.}} Tomando cualquier <math>a\in\mathbb R</math> se obtienen todos los puntos de la recta, así <math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>. La recta tiene como base al segmento orientado (1,&nbsp;1), que la «dirige» a 45° de los [[ejes cartesianos]].luego
{{Ecuación|1=<math>r = \mathrm{gen}\{(1,1)\}</math>.}} La recta tiene como base al segmento orientado (1,&nbsp;1), que la «dirige» a 45° de los [[ejes cartesianos]], caracterizados por los vectores de la [[base canónica]].
</li>
 
 
<li> Lo mismo se aplica a otro tipo de espacios, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespacio <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}ab&=&ba \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespacio está conformado por los polinomios de la forma
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> es una base del espacio ''P''.
</li>
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