Diferencia entre revisiones de «Forma bilineal»
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m →Ejemplos: ejemplo agregado. |
→Matriz asociada: Demostraciones agregadas, con algunas sugerencias de Echani. |
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Línea 107:
\end{pmatrix}</math>
Nótese que por ser <math>f(u,v) \in K</math> un escalar, se verifica que
Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.▼
:<math>f(u,v) = u^t \mathbb{A} v = v^t \mathbb{A}^t u= {\Big[f(u,v)\Big]}^t</math>
Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.
▲{{Teorema|Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.}}
{{Demostración|1=El enunciado puede reescribirse como un par de [[bicondicional|implicaciones dobles]].
#''f'' es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
#''f'' es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.
con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo ''u'', ''v'' en ''V'',
#<math>f(u,v) = f(v,u) \iff \mathbb{A} = \mathbb{A}^t</math> por un lado, y
#<math>f(u,v) = -f(v,u) \iff \mathbb{A} = -\mathbb{A}^t</math>.
Se demuestra cada proposición por separado.
<ol>
<li>
<math>\Longrightarrow)</math> por hipótesis, <math>f(u,v) = f(v,u)</math> luego
{{Ecuación|<math>0 = f(u,v) - f(v,u) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v - u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = u^t \cdot \left(\mathbb{A} - \mathbb{A}^t \right) \cdot v</math>}}
como la igualdad es cierta para todo ''u'', ''v'' tiene que ser
{{Ecuación|<math>\mathbb{A} = \mathbb{A}^t</math>.}}
<math>\Longleftarrow)</math>Escribimos nuevamente a ''f'' en forma matricial
{{Ecuación|<math>f(u,v) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v = v^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot u</math>}}
pero como por hipótesis <math>\mathbb{A}^t = \mathbb{A}</math>,
{{Ecuación|<math>f(u,v) = v^t \cdot \mathbb{A} \cdot u = f(v,u)</math>.}}
</li>
<li>
<math>\Longrightarrow)</math> La prueba es análoga.
{{Ecuación|<math>0 = f(u,v) + f(v,u) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v + u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = u^t \cdot \left(\mathbb{A} + \mathbb{A}^t \right) \cdot v</math>}}
por lo tanto
<math>\mathbb{A} = -\mathbb{A}^t</math>.
<math>\Longleftarrow)</math>Escribimos nuevamente a ''f'' en forma matricial
<math>f(u,v) = u^t \cdot \mathbb{A} \cdot v = - u^t \cdot \mathbb{A}^t \cdot v = - v^t \cdot \mathbb{A} \cdot u = -f(v,u)</math>
[[Quod erat demonstrandum|∎]]
</li>
</ol>
}}
== Forma cuadrática asociada ==
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