Diferencia entre revisiones de «Factorización»

43 bytes añadidos ,  hace 5 años
correcciones
(Corrección ortográfica)
(correcciones)
{{traducción|inglés|Factorization|en}}
 
[[File:Factorisatie.svg|thumb|rught|El polinomio ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''cx''&nbsp;+&nbsp;''d'', donde ''a&nbsp;+&nbsp;b&nbsp;=&nbsp;c'' y ''ab&nbsp;=&nbsp;d'', puede ser factorizado en (''x&nbsp;+&nbsp;a'')(''x&nbsp;+&nbsp;b'').|237x237px]]
 
En [[matemáticas]], la '''factorización''' es una técnica que consiste en la descomposición de una [[expresión matemática]] (que puede ser un número, una [[suma]] o [[resta]], una [[Matriz (matemáticas)|matriz]], un [[polinomio]], etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es ''simplificar'' una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de '''factores''', como por ejemplo un número en [[números primos]], o un polinomio en [[polinomio irreducible|polinomios irreducibles]].
 
Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los factores juntos [[polinómicas]] a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de términos.
 
El [[teorema fundamental de la aritmética]] cubre la [[factorización de enteros|factorización de números enteros]], y para la factorización de polinomios, el [[teorema fundamental del álgebra]]. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de [[Algoritmo|algoritmos]] sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de [[criptografía asimétrica]] como el [[RSA]].
 
== Enteros ==
== Polinomios ==
{{AP|Factorización de polinomios}}
Las técnicas modernas para la factorización de polinomios son rápidos y eficientes, pero el uso de las ideas matemáticas sofisticadas (véase la [[Factorización de polinomios]]). Estas técnicas se utilizan en la construcción de rutinas informáticas para llevar a cabo la factorización polinómica en los sistemas de [[álgebra]] computacional. Las técnicas de mano más clásicos se basan ya sea en el polinomio que tenerse en cuenta que tiene bajo grado o el reconocimiento del polinomio como pertenecientes a una determinada clase de ejemplos conocidos y no son muy adecuados para la aplicación del ordenador. Este artículo se ocupa de estas técnicas clásicas.
 
Mientras que la noción general de factorización sólo significa escribir una expresión como un producto de las expresiones más simples, el término vago "simple" se definirá con mayor precisión para las clases especiales de expresiones. Cuando factorización de polinomios esto significa que los factores son para ser polinomios de grado más pequeño. Así, mientras <math>x^2 - y = (x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})</math> es una factorización de la expresión, no es una '' factorización polinómica '' ya que los factores no son polinomios.<ref>{{harvnb|Fite|1921|p=20}}</ref> Además, la factorización de un término constante, como en <math>3x^2 -6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)</math> no se consideraría una factorización polinomica dado que uno de los factores no tiene un grado menor que la expresión original.<ref>Even if the 3 is thought of as a constant polynomial so that this could be considered a factorization into polynomials.</ref> Otra cuestión se refiere a los coeficientes de los factores. En tratamientos básicos es deseable tener los coeficientes de los factores del mismo tipo que los coeficientes del polinomio original, es decir factorización de polinomios con coeficientes enteros en factores con coeficientes enteros, o factorización de polinomios con coeficientes reales en polinomios con coeficientes reales . No siempre es posible hacer esto, y un polinomio que no puede ser factorizado de esta forma se dice que es irreducible sobre este tipo de coeficiente. Por lo tanto, x² -2 es irreducible sobre los números enteros y x² + 4 es irreducible sobre los números reales. En el primer ejemplo, los números enteros 1 y -2 pueden también ser considerados como números reales, y si es así, entonces <math>x^2 -2 = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})</math> muestra que este polinomio factores sobre los reales (a veces se dice que las divisiones de polinomios sobre los reales). Del mismo modo, ya que los números enteros 1 y 4 pueden ser pensados como números reales y, por lo tanto complejos, x² + 4 divisiones sobre los números complejos, es decir, <math>x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)</math>.
=== Historia de la factorización ===
 
Los estudiantes que se introducen en la factorización como principal método de resolución de ecuaciones cuadráticas que se sorprenda al saber que es uno de los más nuevos métodos para resolverlos. [[Vera Sanford]] señala en su ''A [[Short History of Mathematics]]'' (1930)<ref>{{citation|first=Vera|last=Sanford|title=A Short History of Mathematics|year=2008|origyear=1930|publisher=Read Books|isbn=9781409727101}}</ref> que "en vista de la actual énfasis dado a la solución de ecuaciones cuadráticas por factorización, es interesante observar que este método no se utilizó hasta el trabajo de [[Thomas Harriot|Harriot]] en 1631. Incluso en este caso, sin embargo, el autor hace caso omiso de los factores que dan lugar a las raíces negativas. "Harriot murió en 1621, y al igual que todos sus libros, éste, ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas'', fue publicado después de su muerte. Un artículo sobre Harriot en el sitio web de la historia matemática de la Universidad de [[San Andrews]] dice que en su escritura personal en la resolución de ecuaciones Harriot hizo uso de soluciones tanto positivos como negativos, pero su editor, Walter Warner, no presentó en su libro. método de factorización de Harriot puede ser distinta de lo que los estudiantes esperan modernas. En la primera sección (Sección Prima) Harriot dibuja tablas para ilustrar la suma, resta, multiplicación y división de monomios, binomios, y trinomio. Luego, en la segunda sección que muestra una multiplicación más directa que proporciona la base para su método de factorización. Él establece la ecuación de {{math|1=''aa'' − ''ba'' + ''ca'' = + ''bc''}}, y muestra que esta coincida con la forma de multiplicación que ha proporcionado previamente como,
 
:{|
 
=== Metódos generales ===
Hay sólo unos pocos metódos generales que pueden ser aplicados a cualquier [[polinomio]] ya sea en una variable (la ''[[univariate]]'' case) o varias variables (el caso de ''multivariables'').
 
====Factor común====
1

edición