Diferencia entre revisiones de «Cuerpo de fracciones»

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ElEn [[álgebra abstracta]], se denomina '''cuerpo de fracciones''' de un [[dominio de integridad]] <math>A</math> es elal mínimo [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] que contiene a dicho dominio. Dicho cuerpo siempre existe y se denota por <math>Q(A)</math>, <math>\mathrm{Quot}(A)</math> (del inglés: ''quotient field'') o <math>\mathrm{Frac}(A)</math>.
 
El ejemplo más sencillo de un cuerpo de [[Fracción|fracciones]] es el de los [[Número racional|números racionales]], que son el cuerpo de fracciones de los [[NúmeroPropiedades de los números enteroenteros|números enteros]]. El cuerpo de fracciones de cualquier otro dominio de integridad se construye de manera análoga a éste.
 
== Construcción ==
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* Denotamos por <math>Q(A)</math> al [[conjunto cociente]] <math>(A \times A^*)/\mathcal{R}</math>, y por <math>\frac{a}{b}</math> a la [[clase de equivalencia]] del [[par ordenado]] <math>(a,b)</math>.
 
Como se verá más adelante, a este conjunto <math>Q(A)</math> se le puede dotar de estructura de [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] con las operaciones adecuadas. Además, el anillo <math>A</math> es un subanillo de <math>Q(A)</math>,{{Harvnp|Gamboa|Ruiz|2002|p=34}} ya que podemos identificar cada elemento <math>a \in A</math> con el elemento <math>\frac{a}{1} \in Q(A)</math>.<ref>No es necesario que el anillo A tenga identidad multiplicativa {{Cita Harvard|Hartley|Hawkes|1970}}. En este caso se puede identificar elcada elemento <math>a \in A</math> con <math>\frac{a \cdot b}{b} \in Q(A)</math> para cualquier <math>b \neq 0</math>.</ref> Otra propiedad interesante es que este cuerpo es, salvo isomorfismo, el menor cuerpo que contiene a <math>A</math>,. esEs decir, si existe un cuerpo <math>K</math> tal que <math>A \subset K</math>, entonces <math>Q(A) \subseteq K</math>.{{Harvnp|Carstensen|Fine|Rosenberger|2011|p=[https://books.google.es/books?id=Xo6iSxRfXz0C&pg=PA14&lpg=PA14&dq=field+fractions+smallest+field&source=bl&ots=8DOoQMaEFq&sig=RCGPpZkdQrLalngtSmZM33obq1o&hl=es&sa=X&ved=0ahUKEwiV5qfuw-HOAhUlLsAKHQWkBrIQ6AEIRTAF#v=onepage&q=field%20fractions%20smallest%20field&f=false 14]}} En particular, si <math>A</math> es un cuerpo entonces es [[Isomorfismo|isomorfo]] a su cuerpo de fracciones.{{Harvnp|Gamboa|Ruiz|2002|p=24}}
 
== Operaciones del cuerpo ==
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=== Distributividad ===
Se demuestra sin dificultad que el producto (·) es distributivo respecto de la suma (+). {{Harvnp|Vinberg|2003|p=[https://books.google.es/books?id=kd24d3mwaecC&pg=PA130&dq=vinberg+field+fractions+operations&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjwsOLG7OPOAhWkF8AKHf1qAXIQ6AEIJTAA#v=onepage&q=vinberg%20field%20fractions%20operations&f=false 130]}}Esto hace que <math>(Q(R),+,\cdot)</math> quede dotado de estructura de [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]].
 
== Ejemplos ==
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* Sea <math>R:=\{a+b\mathrm{i}|a,b\in\Z\}</math> el anillo de [[Entero gaussiano|enteros gaussianos]]. Entonces <math>\mathrm{Quot}(R)=\{c+d\mathrm{i}|c,d\in\mathbf{Q}\}</math>, es el cuerpo de los [[Racional gaussiano|racionales gaussianos]] <math>\mathbf{Q}(i)</math>, ejemplo de [[cuerpo de números algebraicos]] y [[cuerpo cuadrático]].
* El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente [[isomorfismo|isomorfo]] a ese mismo cuerpo.
* Dado un dominio de integridad <math>A</math>, su [[anillo de polinomios]] en ''n'' indeterminadas <math>A[X_1,\dots,X_n]</math> es también un dominio de integridad, y por lo tanto se puede construir su cuerpo de fracciones. {{Harvnp|Vinberg|2003|p= [http://books.google.com/books?id=rzNq39lvNt0C&pg=PA132&dq=%22rational+fraction%22&hl=fr&ei=JiucTp-qJIj0sgbY2PSfBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CEIQ6AEwBDgK 131] }}{{Harvnp|Foldes|1994|p=[http://books.google.com/books?id=IR-rH0vLyz0C&pg=PA128&dq=%22field+of+rational+fractions%22&hl=fr&ei=z2KcTpmTNY3Tsgaog82WBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCwQ6AEwADgK#v=onepage&q=%22field%20of%20rational%20fractions%22&f=false 128] }}{{Harvnp|Grillet|2007|p = [http://books.google.com/books?id=LJtyhu8-xYwC&pg=PA124&dq=%22field+of+rational+fractions%22&hl=fr&ei=42GcTveIJc7JswaP1LGMBA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CD8Q6AEwBA#v=onepage&q=%22field%20of%20rational%20fractions%22&f=false 124]}} A dicho cuerpo se le denomina ''cuerpo de [[Función racional|funciones racionales]] con coeficientes en <math>A</math> en n indeterminadas'', y se denota <math>K(X_1,\dots,X_n)</math>.{{Harvnp|Gamboa|Ruiz|2002|p=121}}
 
== Véase también ==
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=== Bibliografía ===
 
* {{citaCita libro
| nombre = AllanCelinen
| apellido = GrilletCarstensen
| nombre2 = Benjamin
| apellido2 = Fine
| nombre3 = Gerhard
| apellido3 = Rosenberger
| título = Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography
| año = 2011
}}
*{{cita libro
| nombre = Ėrnest BorisovichAllan
| apellido = VinbergClark
| título = AElements courseof inAbstract algebraAlgebra
| año = 20032012
}}
*{{cita libro
Línea 71 ⟶ 82:
| título = Fundamental structures of algebra and discrete mathematics
| año = 1994
}}
*{{cita libro
| nombre = Pierre Antoine
| apellido = Grillet
| título = Abstract algebra
| año = 2007
}}
*{{cita libro
| nombre = Allan
| apellido = Clark
| título = Elements of Abstract Algebra
| año = 2012
}}
* {{Cita libro
Línea 93 ⟶ 92:
| editorial = [[Universidad Nacional de Educación a Distancia|UNED]]
| edición = 3ª
}}
*{{cita libro
| nombre = Pierre Antoine
| apellido = ClarkGrillet
| título = Abstract algebra
| año = 2007
}}
* {{Cita libro
| nombre = HartleyB.
| apellido = B.Hartley
| nombre2 = HawkesT.O.
| apellido2 = T.O.Hawkes
| título = Rings, Modules, and Linear Algebra
| año = 1970
}}
* {{Citacita libro
| nombre = CelinenĖrnest Borisovich
| apellido = CarstensenVinberg
| título = A course in algebra
| nombre2 = Benjamin
| apellido2año = Fine2003
| editorial = American Mathematical Society
| nombre3 = Gerhard
| apellido3isbn = Rosenberger0821834134
| título = Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography
| año = 2011
}}
 
Línea 116 ⟶ 119:
*{{MathWorld|FieldofFractions|Field of fractions|}}
 
[[Categoría:ÁlgebraTeoría abstractade anillos]]
[[Categoría:Fracciones]]