Diferencia entre revisiones de «Cuerpo de fracciones»
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El ejemplo más sencillo de un cuerpo de [[Fracción|fracciones]] es el de los [[Número racional|números racionales]], que son el cuerpo de fracciones de los [[
== Construcción ==
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* Denotamos por <math>Q(A)</math> al [[conjunto cociente]] <math>(A \times A^*)/\mathcal{R}</math>, y por <math>\frac{a}{b}</math> a la [[clase de equivalencia]] del [[par ordenado]] <math>(a,b)</math>.
Como se verá más adelante, a este conjunto <math>Q(A)</math> se le puede dotar de estructura de [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] con las operaciones adecuadas. Además, el anillo <math>A</math> es un subanillo de <math>Q(A)</math>,{{Harvnp|Gamboa|Ruiz|2002|p=34}} ya que podemos identificar cada elemento <math>a \in A</math> con el elemento <math>\frac{a}{1} \in Q(A)</math>.<ref>No es necesario que el anillo A tenga identidad multiplicativa {{Cita Harvard|Hartley|Hawkes|1970}}. En este caso se puede identificar
== Operaciones del cuerpo ==
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=== Distributividad ===
Se demuestra sin dificultad que el producto (·) es distributivo respecto de la suma (+). {{Harvnp|Vinberg|2003|p=[https://books.google.es/books?id=kd24d3mwaecC&pg=PA130&dq=vinberg+field+fractions+operations&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjwsOLG7OPOAhWkF8AKHf1qAXIQ6AEIJTAA#v=onepage&q=vinberg%20field%20fractions%20operations&f=false 130]}}Esto hace que <math>(Q(R),+,\cdot)</math> quede dotado de estructura de [[cuerpo (matemáticas)|cuerpo]].
== Ejemplos ==
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* Sea <math>R:=\{a+b\mathrm{i}|a,b\in\Z\}</math> el anillo de [[Entero gaussiano|enteros gaussianos]]. Entonces <math>\mathrm{Quot}(R)=\{c+d\mathrm{i}|c,d\in\mathbf{Q}\}</math>, es el cuerpo de los [[Racional gaussiano|racionales gaussianos]] <math>\mathbf{Q}(i)</math>, ejemplo de [[cuerpo de números algebraicos]] y [[cuerpo cuadrático]].
* El cuerpo de fracciones de un cuerpo es canónicamente [[isomorfismo|isomorfo]] a ese mismo cuerpo.
* Dado un dominio de integridad <math>A</math>, su [[anillo de polinomios]] en ''n'' indeterminadas <math>A[X_1,\dots,X_n]</math> es también un dominio de integridad, y por lo tanto se puede construir su cuerpo de fracciones.
== Véase también ==
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=== Bibliografía ===
| nombre2 = Benjamin▼
| apellido2 = Fine
| nombre3 = Gerhard ▼
| apellido3 = Rosenberger
| título = Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography▼
| año = 2011▼
}}▼
*{{cita libro
| nombre =
| apellido =
| título =
| año =
}}
*{{cita libro
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| título = Fundamental structures of algebra and discrete mathematics
| año = 1994
▲}}
▲*{{cita libro
| nombre = Pierre Antoine▼
▲ | apellido = Grillet
| título = Abstract algebra▼
| año = 2007▼
}}▼
*{{cita libro▼
▲ | nombre = Allan
| apellido = Clark▼
}}
* {{Cita libro
Línea 93 ⟶ 92:
| editorial = [[Universidad Nacional de Educación a Distancia|UNED]]
| edición = 3ª
▲}}
▲*{{cita libro
▲ | nombre = Pierre Antoine
▲ | título = Abstract algebra
▲ | año = 2007
}}
* {{Cita libro
| nombre =
| apellido =
| nombre2 =
| apellido2 =
| título = Rings, Modules, and Linear Algebra
| año = 1970
}}
*
| nombre =
| apellido =
| título = A course in algebra
▲ | nombre2 = Benjamin
|
| editorial = American Mathematical Society
▲ | nombre3 = Gerhard
|
▲ | título = Abstract Algebra: Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry, and Cryptography
▲ | año = 2011
}}
Línea 116 ⟶ 119:
*{{MathWorld|FieldofFractions|Field of fractions|}}
[[Categoría:
[[Categoría:Fracciones]]
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