Diferencia entre revisiones de «Tautología»

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Simplifico sintáxis
(Simplifico sintáxis)
{{Conectivas lógicas}}
{{otros usos}}
En [[lógica]], una '''tautología''' (del [[idioma griego|griego]] ''ταυτολογία'', "decir lo mismo") es una [[fórmula bien formada]] de un sistema de [[lógica proposicional]] que resulta verdadera para cualquier [[Interpretación (lógica)|interpretación]]; es decir, para cualquier asignación de [[Valor de verdad|valores de verdad]] que se haga a sus [[Fórmula atómica|fórmulas atómicas]].<ref name=Dictionary>{{cita enciclopedia |título=tautology |idioma=inglés |url=http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t98.e3047 |enciclopedia=The Oxford Dictionary of Philosophy |editorial=Oxford University Press |fechaacceso=7 de octubre de 2009}}</ref><ref name=Companion>{{cita enciclopedia |apellidos=Barcan Marcus |nombre=Ruth |título=tautology |idioma=inglés |url=http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t116.e2481 |enciclopedia=The Oxford Companion to Philosophy |editorial=Oxford University Press |fechaacceso=7 de octubre de 2009}}</ref> La construcción de una [[tabla de verdad]] es un [[método efectivo]] para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.<ref name=Companion/>
 
== Tablas de verdad ==
En un sistema de [[lógica proposicional]], una interpretación no es más que una función que asigna un único [[valor de verdad]] a todas las fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo tanto, difieren solo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una tautología es una [[fórmula bien formada]] que bajo cualquier interpretación de sus componentes atómicos, tiene valor de verdad 1 (verdadero). Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad del todo. Esto se logra mediante una [[tabla de verdad]]. Por ejemplo, considérese la fórmula ''p'' &and; ''q''. Como a cada fórmula atómica puede asignársele uno de dos posibles valores de verdad, hay en total 2<sup>2</sup> = 4 posibles combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles: o ambas son verdaderas; o ''p'' es verdadera y ''q'' falsa; o ''p'' es falsa y ''q'' verdadera; o ambas son falsas. Esto puede presentarse mediante una simple tabla:
:<math>
\begin{array}{|c|c|}
p & q \hline\
\hline
p & q \\
V & V \hline\
V & VF \\
F & V & F \\
F & VF \\
\end{array}
F & F \\
\hline
\end{array}
</math>
 
 
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|}
p & q & p \and q \\hline
\hline
p & q & p \and q \\
V & V & V \hline\
V & VF & VF \\
F & V & F & F \\
F & VF & F \\
\end{array}
F & F & F \\
\hline
\end{array}
</math>
 
Esta es la [[tabla de verdad]] de la fórmula ''p'' &and; ''q''. Como se ve, esta fórmula solo es verdadera bajo una interpretación: aquella en la que ambas fórmulas atómicas son verdaderas. Una tautología es una fórmula cuyo valor de verdad es 1 para ''todas'' las interpretaciones posibles de las fórmulas atómicas. Por lo tanto, ''p'' &and; ''q'' no es una tautología. En cambio, la siguiente tabla de verdad muestra una fórmula que sí lo es:
:<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|}
p & q & p &\and q & (p \and q) \to p \\
\hline
p & q & (p \and q) & (p \and q) \Rightarrow p \\
V & V & V & V \\hline
V & VF & VF & V \\
F & V & F & F & V \\
F & VF & F & V \\
\end{array}
F & F & F & V \\
\hline
\end{array}
</math>
 
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