Diferencia entre revisiones de «Álgebra de Borel»

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La ''σ-álgebra generada'' por una colección ''T'' de [[subconjunto]]s de ''X'' se define como la mínima σ-álgebra que contiene a ''T''. La existencia y unicidad de una tal σ-álgebra se demuestra fácilmente notando que la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a ''T'' es en sí misma una σ-álgebra que contiene a ''T''.
 
Los elementos del álgebra de Borel se llaman '''conjuntos de Borel''' o '''conjuntos borelianos''' y deben su al matemático [[Émile Borel]], que publicó en 1898 una primera exposición del algebra boreliana de los números reales.<ref>{{Ouvrage|título=Histoire de l'intégration. Vingt-cinq siècles de mathématiques|autor=Jean-Paul Pier|editorial=Masson|año=1996|isbn=222585324X}}, p. 115-116 que renvía a {{Ouvrage|título=Leçons sur la théorie des fonctions|autor=Émile Borel|editorial=Gauthier-Villars|año=1898}}.</ref>
Los elementos del álgebra de Borel se llaman '''conjuntos de Borel''' o '''conjuntos borelianos'''.
 
En espacios topológicos generales, o aun en los [[compacidad local|localmente compactos]], las dos estructuras definidas arriba pueden ser diferentes, aunque este fenómeno se considera patológico en el análisis matemático. De hecho, las dos estructuras coinciden si el espacio en consideración es un espacio localmente compacto, [[espacio separable|separable]] y [[espacio métrico|métrico]].
== Ejemplo ==
Un ejemplo importante, especialmente en teoría de [[probabilidad]], es el álgebra boreliana sobre el conjunto de los [[número real|números reales]]. Es la σ-álgebra en la cual se define la [[medida de Borel]]. Dada una variable aleatoria real en un [[espacio de probabilidad]], su [[distribución de probabilidad]] es, por definición, también una medida en el álgebra boreliana. El álgebra de Borel también es la mínima σ-álgebra sobre '''R''' que contiene a los subconjuntos cerrados de '''R''', a los [[intervalo (matemáticas)|intervalos]] abiertos o cerrados, a los intervalos semiabiertos de la forma (a, b], o a los intervalos de la forma (−∞,b].
 
== Notas ==
{{listaref}}
 
== Referencias ==
 
[[Categoría:Topología|Algebra de borel]]
[[Categoría:Epónimos relacionados con la topología]]
[[Categoría:Teoría de conjuntos]]
[[Categoría:Ciencia y tecnología de Francia del siglo XIX]]
[[Categoría:Ciencia de 1895]]
[[Categoría:Francia en 1895]]
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