Diferencia entre revisiones de «Serie trigonométrica»

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(Series Trigonométricas)
 
 
==Ceros de una serie trigonométrica==
La unicidad y los ceros de las series trigonométricas fueron un área muy activa de investigación en el siglo XIX en Europa. Primero, [[Georg Cantor]] probó que si una serie trigonométrica es convergente hacia una función <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[0, 2\pi]</math>, cuando es idéntica a cero, o de forma más general, es no-nula en un conjunto finito de puntos, entonces los coeficientes de la serie son todos cero.<ref>[http://www.math.caltech.edu/papers/uniqueness.pdf]</ref> Curiosamente, quinientos años antes los matemáticos de la India, especialmente los de la [[escuela de Kerala]] como [[Madhava de Sangamagrama]] y [[Neelakanta Somayaji]] ya habían creado las bases completas de la misma teoría.<ref name=roy>Roy, Ranjan. 1990. "Discovery of the Series Formula for <math> \pi </math> by Leibniz, Gregory, and Nilakantha." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America) 63(5):291-306.</ref>
 
Más adelante [[Georg Cantor]] probó que si el conjunto ''S'' (en el que <math>f</math> es no-nula) es infinito, pero el [[conjunto derivado]] ''S''' de ''S'' es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, probó un resultado más general. Sea ''S''<sub>''0''</sub> = ''S'' y sea ''S''<sub>''k+1''</sub> el [[conjunto derivado]] de ''S''<sub>''k''</sub>. Si hay un número finito ''n'' para el que ''S''<sub>''n''</sub> es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Posteriormente, Lebesgue demostró que si hay un [[número ordinal]] ''α'' infinito tal que ''S''<sub>''α''</sub> es finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el famoso problema de la unicidad de la serie le llevó al descubrimiento de los [[número ordinal|números ordinales]] [[número transfinito|transfinitos]], que aparecen como los subíndices ''α'' en ''S''<sub>''α''</sub> .<ref>{{Citation|last1=Cooke|first1=Roger|title=Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=45|pages=281|year=1993|doi=10.1007/BF01886630|issue=4|postscript=.}}</ref>
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