Diferencia entre revisiones de «Quinto postulado de Euclides»

Inicialmente tuvo mucho éxito llegando a un absurdo al partir que los otros dos ángulos del 'cuadrilátero de Saccheri' eran obtusos. Pero al continuar con el intento al suponer que esos otros dos ángulos eran agudos, se equivocó y erróneamente llegó a otro absurdo. (La causa del error fue probablemente influencia de sus creencias religiosas)<ref name=zurdo88 />

 

 

Unos 22 siglos después de que se escribieran los ''Elementos'' por fin se llega a una conclusión: el V postulado es independiente de los otros cuatro. Y se llega a esta respuesta mediante un camino sorprendente. La prueba de la independencia del V postulado lleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.

Ahora bien, excepto porque tenemos una noción de recta y de plano que nos permiten comprobar que esas nociones encajan en las definiciones dadas, éstas son demasiado difusas desde el punto de vista lógico como para considerar que no puedan ser válidas otras interpretaciones. Por ejemplo, si consideramos una superficie esférica y le damos la denominación de ''plano'', encaja perfectamente en las definiciones de plano. En este caso, una ''recta'' debería de ser (en virtud de lo dicho, en especial de la propiedad de ser la línea más corta) el trozo de circunferencia máxima (es decir, una circunferencia que pasa por dos puntos diametralmente opuestos de la superficie esférica) que pasa por dos puntos dados. En tal situación, por un punto exterior a una ''recta'' no pasaría ninguna ''recta'' paralela a la dada.

 

En el siglo XIX se da conclusión al problema de la independencia del V postulado. Lo hacen de manera independiente [[János Bolyai|Bolyai]] y [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky|Lobachevsky]], aunque [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ya había resuelto el problema con anterioridad (eso sí, no había publicado sus resultados, y la paternidad del descubrimiento fue para los otros dos geómetras). La idea es muy simple: en Matemática no está permitido llegar a una contradicción, es decir, obtener un resultado que sea exactamente la negación de otro resultado. No puede obtenerse que partiendo de las mismas hipótesis sea cierto, a la vez, que (por ejemplo) dos rectas se corten y que esas dos mismas rectas no se corten. Se llegaría a la conclusión de que (de no haber cometido errores de razonamiento, claro) alguna de las hipótesis ha de ser falsa.

 

La idea que dio solución al problema es la siguiente: si el V postulado depende de los otros cuatro, es que no nos hace falta incluirlo entre nuestras hipótesis (postulados). Así que en el desarrollo de la teoría, tarde o temprano, aparecerá en forma de teorema. Ahora bien, si eliminamos dicho postulado y le añadimos su negación, de ser cierto que el postulado V depende de los otros, llegaremos a demostrarlo, y con ello tendremos que tanto una proposición (el V postulado) como su contraria (la negación del V postulado que ahora lo sustituye) son ciertas. Habremos pues llegado a una contradicción, algo que no es admisible. Alguna de las hipótesis tiene que ser falsa, y esta ha de ser la nueva que se ha introducido, pues es la única que choca contra nuestra intuición (las demás sabemos que son ciertas porque ya lo eran en la geometría de Euclides).

 

 

=== El V postulado y la investigación geométrica actual ===