Diferencia entre revisiones de «Interior (topología)»

Si <math>(X,\mathcal{T})</math> consiste en un espacio metricométrico, se puede desarrollar aún más:

Este caso es bastante claro si uno se da cuenta que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia. Si consideramos los puntos en el circulocírculo cerrado ''D''¹

* Ahora, considera cualquier punto <math>a\not \in B_1(0)</math>. Sabemos que <math>a=(x,y)</math> y que <math>x^2+y^2\ge 1</math>, entonces considera cualquier <math>r>0</math>: demostramos que existe un punto en cualquier bola abierta centrada en <math>a</math> que no estaestá contenido en ''D''¹. Dado una bola <math>B_r(a)</math>, el punto <math>b = \left(1+\frac{r}{2}\right)a \in B_r(a)</math>, sin embargo sabemos que <math>|a|^2= 1</math> (porque <math>|a|^2 > 1 \implies a\not \in D^1</math>), entonces <math>|b|^2 = \left\vert\left(1+\frac{r}{2}\right)a\right\vert^2 = \left|1+\frac{r}{2}\right|^2|a|^2 = \left|1+\frac{r}{2}\right|^2 > 1</math> porque <math>r>0</math>. Al saber que <math>|b|^2 > 1</math> entonces <math>b\not \in D^1</math> que nos deja concluir que <math>B_r(a)\not\subset D^1, \forall r>0</math>. Esto implica inmediatamente que <math>a\not\in \text{int}(A)</math>. Por esto sabemos que <math>B_1(0) \supset \text{int}(D^1)</math>.