Diferencia entre revisiones de «Recta real extendida»

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En [[matemática]], la '''recta real extendida o recta real acabada''', es un [[espacio métrico]] que se obtiene a partir de los [[números reales]] <math>{\mathbb{R}}</math><ref name=rr>{{cita libro |apellido=Arias Cabezas |apellido2=Maza Sáez |nombre=José María |nombre2=Ildefonso |año=2008 |título=Matemáticas 1 |fechaacceso=2 de mayo de 2017 |página=16 |capítulo=Aritmética y Álgebra |lugar=Madrid |editorial=Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada |apellido-editor=Carmona Rodríguez |apellido-editor2=Díaz Fernández |nombre-editor=Manuel |nombre-editor2=Francisco Javier |idioma=español |isbn=9788421659854 |número-autores=2}}</ref> por la añadidura de dos elementos: <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math> (léase ''[[infinito]] positivo'' e ''infinito negativo'', respectivamente). LaA '''rectacada número real extendidale ''proyectiva''''' añadecorresponde un solopunto objeto:de <math>la \infty</math>recta, ([[puntoy dela infinito]]),cada ypunto node hacela distinciónrecta entrele infinitoscorresponde «positivo»un onúmero «negativo».real; Estospor nuevosello, elementosse nodice sonque los números reales completan la recta.<ref name=rr/>
 
La '''recta real extendida ''proyectiva''''' añade un solo objeto: <math> \infty</math> ([[punto del infinito]]), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.
 
La recta real extendida se denota por <math>\overline{\mathbb{R}}</math> o bien <math>[+ \infty,- \infty]</math>; es utilizada para describir varios [[Límite de una función|comportamientos al límite]] en [[cálculo infinitesimal]] y [[análisis matemático]], especialmente en la [[teoría de la medida]] e [[integración]].
 
En general, todas las leyes de la aritmética serán válidas en '''{{Overline|R}}''' siempre y cuando las expresiones que intervienen estén definidas.
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==Miscellaneous==
Several [[function (mathematics)|functions]] can be [[continuity (topology)|continuously]] extended to '''{{Overline|R}}''' by taking limits. For instance, one defines [[exponential function|exp]](−∞) = 0, exp(+∞) = +∞, [[natural logarithm|ln]](0) = −∞, ln(+∞) = +∞ etc.
 
Some discontinuities may additionally be removed. For example, the function 1/''x''<sup>2</sup> can be made continuous (under ''some'' definitions of continuity) by setting the value to +∞ for ''x'' = 0, and 0 for ''x'' = +∞ and ''x'' = −∞. The function 1/''x'' can ''not'' be made continuous because the function approaches −∞ as ''x'' approaches 0 from below, and +∞ as ''x'' approaches 0 from above.
 
Compare the [[real projective line]], which does not distinguish between +∞ and −∞. As a result, on one hand a function may have limit ∞ on the real projective line, while in the affinely extended real number system only the absolute value of the function has a limit, e.g. in the case of the function 1/''x'' at ''x'' = 0. On the other hand
:<math>\lim_{x \to -\infty}{f(x)}</math> and <math>\lim_{x \to +\infty}{f(x)}</math>
correspond on the real projective line to only a limit from the right and one from the left, respectively, with the full limit only existing when the two are equal. Thus e<sup>''x''</sup> and arctan(''x'') cannot be made continuous at ''x'' = ∞ on the real projective line.
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== Véase también ==
 
== Referencias ==
{{listaref}}
 
== Bibliografía ==
* {{MathWorld|author= David W. Cantrell|title=Affinely Extended Real Numbers|urlname=AffinelyExtendedRealNumbers}}
 
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