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En su ensayo de dos páginas ''Zum intuitionistischen Aussagenkalkül'' (1932) Gödel refutó la “valuabilidad” finita de la [[lógica intuicionista]]. En la demostración empleó implícitamente lo que después se conoció como la [[lógica intermedia|lógica intermedia de Gödel–Dummett]] (o [[t-norm fuzzy logic|''Gödel fuzzy logic'']]).
 
Gödel recibió su [[habilitación]] en la Universidad de Viena en 1932, y en 1933 se convirtió en ''[[Privatdozent]]'' (permiso para enseñar y examinar de forma independiente en la universidad). La ascensión de Hitler en Alemania en 1933 afectó poco a Gödel en Viena, ya que tenía poco interés en la política. Sin embargo, se vio muy afectado por el asesinato de [[Moritz Schlick]] (cuyo seminario había despertado su interés por la lógica) a manos del estudiante Hans Nelböck, quien declaró que mató a Schlick "por difundir ideas antimetafísicas que minan la moral y la cohesión de la vida".<ref name="schlick"> Stadler, Friedrich (2015). "Documentation: The Murder of Moritz Schlick", en: Friedrich Stadler (ed.). ''The Vienna Circle. Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiricism'': 597-632. Vienna, New York: Springer. ISBN 3-211-83243-2 </ref> Este incidente le provocó un colapso nervioso y su primera crisis de [[paranoia]]. Dos años después, tras el [[Anschluss]], el asesino fue liberado y se declaró [[nazi]].<ref name="schlick"/>
 
=== Visitas a los Estados Unidos ===
 
=== Trabajo en Princeton ===
Después del [[Anschluss]] en 1938, Austria pasó a formar parte de la [[Alemania Nazi]]. Alemania abolió el título de ''[[Privatdozent]]'', de modo que Gödel tuvo que concursar a un cargo diferente en el nuevo orden. Sin embargo, sus vínculos anteriores con miembros judíos del [[Círculo de Viena]], especialmente con [[Hans Hahn]], pesaban en su contra. Su situación se precipitó a finales de 1939, cuando se le encontró apto para el servicio militar, quedando en riesgo de ser llamado a las filas del ejército alemán durante la [[II Guerra Mundial]], razón por la cual emigró hacia los Estados Unidos para asumir un cargo docente en el IEA. Gödel y su esposa tuvieron que tomar el [[Transiberiano|Ferrocarril Transiberiano]] hasta el Pacífico, navegado desde [[Japón]] hasta San Francisco (donde llegaron el 4 de marzo, 1940), y luego cruzaron los Estados Unidos en tren hasta Princeton.<ref>Dawson Jr, John W. (2002) "[http://www.ams.org/notices/200209/fea-dawson.pdf Max Dehn, Kurt Gödel, and the Trans-Siberian Escape Route]", en ''Notices of the American Mathematical Society'' '''49'''(9): 1068-1075 (1071-1072).</ref>
 
Rápidamente retomó su trabajo en matemáticas y en 1940 publicó su obra ''Consistencia del [[axioma de elección]] y de la hipótesis del continuo generalizada con los axiomas de la teoría de conjuntos'', la cual constituye un clásico de la matemática moderna. En dicho trabajo introdujo el [[universo construible]], un modelo de la teoría de conjuntos en el cual los únicos conjuntos que existen son aquellos que pueden construirse a partir de conjuntos más simples. Gödel mostró que tanto el axioma de elección (AC) y la [[hipótesis del continuo #La hipótesis del continuo generalizada|hipótesis del continuo generalizada]] (HCG) son verdaderas en el universo construible y por lo tanto deben de ser consistentes con los [[axiomas de Zermelo-Fraenkel]] para la teoría de conjuntos (ZF). Posteriormente [[Paul Cohen]] construyó un [[estructura (lógica matemática)|modelo]] de ZF en el cual AC y HCG son falsos; en conjunto estas demostraciones significan que AC y HCG son independientes de los axiomas de ZF para la teoría de conjuntos.
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