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{{referencias|t=20170227032233}}
{{fusionar desde|Matrices cuadradas y sus definiciones básicas}}
{{fusionar en|Matriz cuadrada}}
Una '''[[Matriz (matemática)|matriz]]''' de ''n'' por ''m'' elementos, es una '''matriz cuadrada''' si el número de filas es igual al número columnas, es decir, ''n'' = ''m'' y se dice, entonces que '''la matriz es de orden ''n''''':
{{AP|Matriz cuadrada}}
Una '''[[Matriz (matemáticas)|matriz]]''' que posee el mismo número de filas que de columnas se la denomina '''Matriz cuadrada'''.
 
Supongamos que el número de filas es ''n'' y el número de columnas es ''m'', por lo tanto para que esa matriz sea cuadrada debe ser ''n = m'', a ese número se le llama '''orden de la matriz''' que coincidiría con la dimensión de dicha matriz.
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n1m} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n2m} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n3m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nnnm} \\
\end{pmatrix}
</math>
 
== ClasesTipos de matricesMatrices cuadradas ==
Las matrices cuadradas son las más utilizadas en [[álgebra]].
 
*'''<big>Matriz unidad:</big>'''Es una matriz cuadrada de la forma:
== Propiedades ==
Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una [[matriz simétrica]] y una [[matriz antisimétrica]].
Si ''A'' y ''B'' son matrices del mismo orden, entonces se pueden [[suma de matrices|sumar]] entre sí. Los [[producto de matrices|productos de matrices]] son válidos en ambos sentidos, ''AB'' y ''BA''. Además, surgen los conceptos de [[Determinante (matemática)|determinante]] y [[traza]] solo aplicables a matrices cuadradas.
 
Una matriz cuadrada ''A'' de orden ''n'' es '''singular''' si su [[Determinante (matemáticas)|determinante]] es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene [[matriz invertible|inversa]].
 
== Ejemplo ==
Ejemplo de matriz cuadrada para ''n'' = 3:
: <math>
AI =
\begin{pmatrix}
1 & -30 & 80 & \cdots & 0 \\
20 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1\cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm}1 \\
\end{pmatrix}
</math>
Por lo tanto la matriz unidad es aquella que dispone de la unidad en su diagonal principal y los demás elementos son 0.
Se representa con '''I'''.
 
== Clases de matrices cuadradas ==
 
=== Matriz triángular superior ===
Una matriz cuadrada es '''[[matriz triangular|triángular superior]]''' si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m} \\
0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m} \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}
</math>
<small>'''Ejemplo:'''
: <math>
AI =
\begin{pmatrix}
31 & 60 & 120 & -30 \\
0 & -21 & 40 & 90 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 81 \\
\end{pmatrix}
</math>
</math></small>
 
Una matriz cuadrada es *'''[[matriz<big>Matriz diagonal|diagonal]]:</big>'''Es cualquier matriz cuadrada sique tiene nulos todos los elementos excepto los de la diagonal principal, de la forma:
=== Matriz triángular inferior ===
 
Una matriz cuadrada es '''[[matriz triangular|triángular inferior]]''' si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21}0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{31}0 & a_{32}0 & a_{33} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}0 & a_{n2}0 & a_{n3}0 & \cdots & a_{nm} \\
\end{pmatrix}
</math>
A =
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 & 0 \\
60 & 20 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 8 \\
\end{pmatrix}
</math>
Perteneciente a : <math>
M_3M_4
</math></small>
 
*'''<big>Matriz triángular superior:</big>''' Una matriz cuadrada es '''[[matriz triangular|triángular superior]]''' si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma:
 
=== Matriz diagonal ===
Una matriz cuadrada es '''[[matriz diagonal|diagonal]]''' si tiene nulos todos los elementos excepto los de la diagonal principal, de la forma:
 
: <math>
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0a_{12} & 0a_{13} & \cdots & 0a_{1m} \\
0 & a_{22} & 0a_{23} & \cdots & 0a_{2m} \\
0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0a_{3m} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm} \\
A =
\begin{pmatrix}
3 & 06 & 012 & 0-3 \\
0 & -2 & 04 & 0 9\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 8 \\
</math></small>
 
*'''<big>Matriz triángular inferior:</big>''' Una matriz cuadrada es '''[[matriz triangular|triángular inferior]]''' si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:
Por definición, toda matriz diagonal es triangular superior y triangular inferior.
 
=== Matriz unidad ===
Una matriz cuadrada es una '''matriz unitaria''' o '''matriz unidad''' si todos los elementos en su diagonal principal son la unidad y los demás elementos son 0. Se trata de un caso particular de matriz diagonal, y se representa por '''''I'''''.
 
: <math>
IA =
\begin{pmatrix}
1a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0a_{21} & 1a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\
0a_{31} & 0a_{32} & 1a_{33} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0a_{n1} & 0a_{n2} & 0a_{n3} & \cdots & 1a_{nm} \\
\end{pmatrix}
</math>
 
<small>'''Ejemplo:'''
: <math>
IA =
\begin{pmatrix}
13 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1-2 & 0 & 0 \\
06 & 02 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>
Perteneciente a : <math>
M_4M_3
</math></small>
 
== Véase también ==
*[[Matriz (matemáticas)]]
 
== Enlaces externos ==
*{{MathWorld|SquareMatrix|Square Matrix}}
 
== Referencias ==
[[Categoría:Matrices]]
{{Listaref}}
 
{{categorizame}}
[[en:Matrix (mathematics)#Square matrices]]