Definición formal
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Sea
V
1
{\displaystyle V_{1}}
un espacio vectorial con
2
j
1
+
1
{\displaystyle 2j_{1}+1}
dimensiones representado por los estados
|
j
1
m
1
⟩
,
{
m
1
=
−
j
1
,
−
j
1
+
1
,
…
j
1
}
{\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle ,\{m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\ldots j_{1}\}}
y
V
2
{\displaystyle V_{2}}
otro espacio vectorial con
2
j
2
+
1
{\displaystyle 2j_{2}+1}
dimensiones, igualmente representado por los estados
|
j
2
m
2
⟩
,
{
m
2
=
−
j
2
,
−
j
2
+
1
,
…
j
2
}
.
{\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle ,\{m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\ldots j_{2}\}.}
El producto tensorial de estos espacios,
V
12
≡
V
1
⊗
V
2
{\displaystyle V_{12}\equiv V_{1}\otimes V_{2}}
, tiene
(
2
j
1
+
1
)
(
2
j
2
+
1
)
{\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}
dimensiones. Este espacio se representa con la denominada base desacoplada :
|
j
1
j
2
m
1
m
2
⟩
≡
|
j
1
m
1
⟩
⊗
|
j
2
m
2
⟩
.
{\displaystyle |j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle .}
Puede ser más útil emplear un espacio vectorial suma
V
3
=
V
1
⊕
V
2
{\displaystyle V_{3}=V_{1}\oplus V_{2}}
(con
j
3
=
|
j
1
−
j
2
|
,
…
,
j
1
+
j
2
{\displaystyle j_{3}=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}}
,
m
3
=
−
j
3
,
−
j
3
+
1
,
…
j
3
{\displaystyle m_{3}=-j_{3},-j_{3}+1,\ldots j_{3}}
y
2
j
3
+
1
{\displaystyle 2j_{3}+1}
dimensiones) y utilizar una nueva base, denominada base acoplada , de forma que:
|
j
1
j
2
j
3
m
3
⟩
=
∑
m
1
,
m
2
|
j
1
j
2
m
1
m
2
⟩
⟨
j
1
j
2
m
1
m
2
|
j
3
m
3
⟩
=
∑
m
1
,
m
2
|
j
1
m
1
⟩
⊗
|
j
2
m
2
⟩
C
j
3
m
3
m
1
m
2
.
{\displaystyle |j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}\rangle \langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}.}
Los coeficientes del desarrollo
C
j
3
m
3
m
1
m
2
=
⟨
j
1
j
2
m
1
m
2
|
j
3
m
3
⟩
{\displaystyle C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}=\langle j_{1}j_{2}m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle }
se denominan coeficientes de Clebsch–Gordan .
Notación en física nuclear
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Utilizando una determinada representación, por ejemplo la representación de posiciones, y utilizando la notación de Einstein , podemos escribir:[ 1]
ψ
m
3
j
1
j
2
j
3
(
r
→
)
=
⟨
r
→
|
j
1
j
2
j
3
m
3
⟩
=
C
m
1
m
2
m
3
j
1
j
2
j
3
φ
m
1
j
1
φ
m
2
j
2
=
C
m
1
m
2
m
3
j
1
j
2
j
3
ϕ
m
1
,
m
2
j
1
j
2
(
r
→
)
.
{\displaystyle \psi _{m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}({\vec {r}})=\langle {\vec {r}}|j_{1}j_{2}j_{3}m_{3}\rangle =C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}\varphi _{m_{1}}^{j_{1}}\varphi _{m_{2}}^{j_{2}}=C_{m_{1}m_{2}m_{3}}^{j_{1}j_{2}j_{3}}\phi _{m_{1},m_{2}}^{j_{1}j_{2}}({\vec {r}}).}
También se suele utilizar emplear la siguiente notación:
[
ϕ
[
j
1
]
⊗
ϕ
[
j
2
]
]
[
j
3
]
=
∑
m
1
,
m
2
C
m
1
,
m
2
,
m
3
j
1
,
j
2
,
j
3
ϕ
j
1
,
m
1
ϕ
j
2
,
m
2
.
{\displaystyle \left[\phi ^{[j_{1}]}\otimes \phi ^{[j_{2}]}\right]^{[j_{3}]}=\sum _{m_{1},m_{2}}{C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}\phi _{j_{1},m_{1}}\phi _{j_{2},m_{2}}}.}
Ejemplo de uso: acoplamiento de momentos angulares
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Ortogonalidad
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La primera de las relaciones de ortogonalidad es:
∑
j
3
,
m
3
⟨
m
1
m
2
|
j
3
m
3
⟩
⟨
j
3
m
3
|
m
1
′
m
2
′
⟩
=
C
j
3
m
3
m
1
m
2
C
m
1
′
m
2
′
j
3
m
3
=
δ
m
1
′
m
1
δ
m
2
′
m
2
,
{\displaystyle \sum _{j_{3},m_{3}}{\langle m_{1}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \langle j_{3}m_{3}|m'_{1}m'_{2}\rangle }=C_{j_{3}m_{3}}^{m_{1}m_{2}}C_{m'_{1}m'_{2}}^{j_{3}m_{3}}=\delta _{m'_{1}}^{m_{1}}\delta _{m'_{2}}^{m_{2}},}
y la segunda:
∑
m
1
,
m
2
⟨
j
3
m
3
|
m
1
m
2
⟩
⟨
m
1
m
2
|
j
3
′
m
3
′
⟩
=
C
m
1
m
2
j
3
m
3
C
j
3
′
m
3
′
m
1
m
2
=
δ
j
3
′
j
3
δ
m
3
′
m
3
.
{\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}{\langle j_{3}m_{3}|m_{1}m_{2}\rangle \langle m_{1}m_{2}|j'_{3}m'_{3}\rangle }=C_{m_{1}m_{2}}^{j_{3}m_{3}}C_{j'_{3}m'_{3}}^{m_{1}m_{2}}=\delta _{j'_{3}}^{j_{3}}\delta _{m'_{3}}^{m_{3}}.}
C
m
1
,
m
2
,
m
3
j
1
,
j
2
,
j
3
=
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
−
j
3
C
−
m
1
,
−
m
2
,
−
m
3
j
1
,
j
2
,
j
3
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
−
j
3
C
m
2
,
m
1
,
m
3
j
2
,
j
1
,
j
3
=
(
−
1
)
j
1
−
m
1
2
j
3
+
1
2
j
2
+
1
C
m
1
,
−
m
3
,
−
m
2
j
1
,
j
3
,
j
2
=
(
−
1
)
j
2
+
m
2
2
j
3
+
1
2
j
1
+
1
C
−
m
3
,
m
2
,
−
m
1
j
3
,
j
2
,
j
1
=
(
−
1
)
j
1
−
m
1
2
j
3
+
1
2
j
2
+
1
C
m
3
,
−
m
1
,
m
2
j
3
,
j
1
,
j
2
=
(
−
1
)
j
2
+
m
2
2
j
3
+
1
2
j
1
+
1
C
−
m
2
,
m
3
,
m
1
j
2
,
j
3
,
j
1
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{m_{1},m_{2},m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}=\\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{-m_{1},-m_{2},-m_{3}}^{j_{1},j_{2},j_{3}}\\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-j_{3}}C_{m_{2},m_{1},m_{3}}^{j_{2},j_{1},j_{3}}\\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{1},-m_{3},-m_{2}}^{j_{1},j_{3},j_{2}}\\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{3},m_{2},-m_{1}}^{j_{3},j_{2},j_{1}}\\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{2}+1}}}C_{m_{3},-m_{1},m_{2}}^{j_{3},j_{1},j_{2}}\\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2j_{3}+1}{2j_{1}+1}}}C_{-m_{2},m_{3},m_{1}}^{j_{2},j_{3},j_{1}}\end{aligned}}}
Casos especiales
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Véase también
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