Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean $f$ y $g$ dos funciones cuya convolución se expresa con $f\ast g$. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo $\otimes$). Sea ${\mathcal {F}}$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que ${\mathcal {F}}[f]$ y ${\mathcal {F}}[g]$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$

donde · indica producto punto a punto. También puede afirmarse que:

${\mathcal {F}}[f\cdot g]={\frac {{\mathcal {F}}[f]*{\mathcal {F}}[g]}{\sqrt {2\pi }}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podemos escribir:

$f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]$

Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de ${\sqrt {2\pi }}$ que son inconvenientes aquí. Sean $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$

Sean $F$ la transformada de Fourier de $f$ y $G$ la transformada de Fourier de $g$:

$F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$

$G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$.

Sea $h$ la convolución de $f$ y $g$

$h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$

Nótese que

$\int \int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$

Del teorema de Fubini tenemos que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, así que su transformada de Fourier está definida. Sea $H$ la transformada de Fourier de $h$:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.$

Obsérvese que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.$

Sustituyendo $y=z-x$; tenemos $dy=dz$, y por lo tanto:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.$

Estas dos integrales son las definiciones de $F(\omega )$ y $G(\omega )$, así que:

$H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$

Que es lo que queríamos demostrar.

• Datos: Q2638931