Extensión de cuerpos

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En Álgebra, las extensiones de cuerpo son el problema fundamental de la Teoría de Cuerpos. Un cuerpo es un conjunto en el que las operaciones suma y producto están definidas y «funcionan bien». Cuando se construye una extensión de un cuerpo, se busca un conjunto más grande en el que las operaciones suma y producto sigan funcionando bien y además se puedan resolver las ecuaciones polinómicas.

Definición.Editar

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K.

Extensión sobre un cuerpo como espacio vectorial sobre el cuerpoEditar

En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo,   es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares   como una restricción a   del producto en  . De esta forma es inmediato que se cumple que:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,

cualesquiera que sean   y  . Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en   y a que  , la tercera se debe a que el producto es asociativo en  , y la cuarta se debe a que   es subcuerpo de  , por lo que el elemento unidad de   es el elemento unidad de  .

Extensión simpleEditar

El conjunto  . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de  , es subcuerpo de  , y de hecho es la menor extensión de   que contiene a  . Se le denomina extensión generada por α sobre  .

Extensiones algebraicas y trascendentesEditar

Teorema de Kronecker.Editar

Sea   un cuerpo y   un polinomio irreducible, entonces existe alguna extensión   de manera que   tiene alguna raíz en  .

Homomorfismo evaluaciónEditar

La función   que a cada polinomio   le hace corresponder su evaluación en  , i.e.,  . Esta aplicación es de hecho un isomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina homomorfismo evaluación.

Extensión algebraicaEditar

Una extensión   se dice que es algebraica si todo elemento   es algebraico sobre  .

Elementos algebraicosEditar

Supongamos que existe algún polinomio   que tiene a   por raíz.

En esta situación ( , o equivalentemente, existe algún   irreducible con  ) se dice que   es algebraico sobre  .

Un elemento es entonces algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Polinomio mónico irreducibleEditar

Si   es un elemento algebraico sobre el cuerpo   de manera que  , el polinomio   que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,  ) es irreducible. Dividiendo   por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable  ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por   y se denomina polinomio mónico irreducible de   respecto de  .

Claramente,  .

Extensión trascendenteEditar

Una extensión   se dice que es trascendente si existe algún elemento   que sea trascendente sobre  .

Elementos trascendentesEditar

Si el ker , será   un monomorfismo. En ese caso,   es isomorfo a  .


Se dirá que el elemento   es trascendente sobre   y que   es una extensión trascendente sobre  . Además, no existirá ningún polinomio con coeficientes en   que tenga por raíz a   (es decir, si  , entonces  ).

Grado de una extensiónEditar

Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de   como espacio vectorial sobre  , denotado por  . Se denomina grado de la extensión   a la dimensión de   como  -espacio vectorial:  .

Tomemos varios ejemplos:

K =   el cuerpo de los racionales y L =   el cuerpo de los reales;   visto como espacio vectorial sobre  , es de dimensión infinita, es decir,  .

El resultado no sorprende si se considera los cardinales de ambos conjuntos: Si la dimensión de   sobre   fuese finita,   sería isomorfo a  , lo que no es posible porque  .

Si K =  , el cuerpo de los racionales y L =  , el menor cuerpo que contiene a la vez   y √2, claramente   es una extensión algebraica de  , ya que   es raíz del polinomio  .

Al mismo tiempo:

 

ya que el ideal   es el núcleo del morfismo  , claramente este es un morfismo suprayectivo, se sigue del primer teorema de isomorfismo que son campos isomorfos.

Además  , es decir, la dimensión de   como espacio vectorial sobre   es 2, esto es así ya que 2 es el grado del polinomio mónico e irreducible que tiene a √2 como raíz:  .

En general:

  si   es el grado del polinomio mónico e irreducible en   que tiene a   como raíz, donde   es un cuerpo y   son los polinomios con coeficientes en  .

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar