Abrir menú principal

Fórmula de Bretschneider

Expresión que permite calcular el área de cualquier cuadrilátero en función de las longitudes de sus lados y del valor de dos ángulos internos opuestos
Un cuadrilátero con la denominación de sus elementos característicos

En geometría, la fórmula de Bretschneider es una expresión que permite calcular el área de un cuadrilátero general:

Aquí, a, b, c, d son los lados del cuadrilatero, s es el semiperímetro, y α y γ son dos ángulos opuestos.

Se cumple en cualquier cuadrilátero, ya sea cíclico o no.

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. También fue deducida ese mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt.

DemostraciónEditar

Si se denomina K al área del cuadrilatero, entonces se tiene que

 

Por lo tanto

 
 

La ley del coseno implica que

 

porque ambos lados equivalen al cuadrado de la longitud de la diagonal BD, lo que se puede reescribir como

 

Añadiendo esto a la fórmula superior por 4K2, resulta

 

Nótese que   (una identidad trigonométrica cierta para todo  )

Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta, se puede escribir como

 

Introduciendo el semiperímetro

 

lo anterior se convierte en

 
 

y la fórmula de Bretschneider se deduce después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:

 

Fórmulas relacionadasEditar

La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, que a su vez generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo.

El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para dar[1][2]

 

ReferenciasEditar

  1. J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345–347. (JSTOR)
  2. E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204-205

Lecturas relacionadasEditar

  • Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
  • E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
  • C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
  • F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)

Enlaces externosEditar