Fórmula de De Moivre

teorema matemático

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) y para cualquier se verifica que

.

Esta fórmula conecta los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría.

La expresión en ocasiones se abrevia como .

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible obtener expresiones muy útiles para y en términos de y . Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la -ésima raíz de la unidad, eso es, números complejos tal que .

HistoriaEditar

 
Sello con la efigie de Euler

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum[1]​ de Euler, que la demuestra[2]​ para todos los enteros naturales   en 1748. Pero también aparece implícitamente en los trabajos de Abraham de Moivre varias veces desde 1707,[3]​ en su trabajo sobre las raíces  -ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

Relación con la fórmula de EulerEditar

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

 

aplicando leyes de la exponenciación

 

Entonces, por la fórmula de Euler,

 .

Algunos resultadosEditar

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

 

si hacemos   entonces tenemos la identidad de Euler:

 

Es decir:

 

Además como tenemos estas dos igualdades:

 
 

podemos deducir lo siguiente:

 

Demostración por inducciónEditar

Consideramos tres casos.

Para un entero  , procedemos por inducción matemática. Cuando   el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo  . Eso es que asumimos:

 

Ahora, considerando el caso  :

 

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando   la fórmula es verdadera ya que  , y (por convención)  .

Cuando  , consideramos que existe un entero positivo   tal que  , por lo que

 

Por lo tanto el teorema es verdadero para todo  .

GeneralizaciónEditar

  La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

 

es una función multivaluada mientras

 

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

      es un valor de      .

AplicacionesEditar

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

 

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo   el módulo.

PotenciaEditar

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

 

RaícesEditar

Para obtener las   raíces de un número complejo, se aplica:

 

donde   es un número entero que va desde   hasta  , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las   raíces diferentes de  .

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, cap. 8 («De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis»), § 133.
  2. Énoncée plus que démontrée selon Flament, 2003, p. 61.
  3. Desde 1707, en los Philosophical Transactions, n.º 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures (previsualización, p. 444, en Google Libros), después en 1730 en sus Miscellanea Analytica, Londres, p. 1-2 y en las Philosophical Transactions de 1738, n.º 451, problema III (previsualización, p. 507, en Google Libros).

Enlaces externosEditar