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Fórmula de De Moivre

teorema matemático

La fórmula de De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

(cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx),

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

HistoriaEditar

 
Sello con la efigie de Euler.

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introduction à l'analyse infinitésimale[1]​ de Euler que la demuestra,[2]​ para todos los enteros naturales n, en 1748. Pero aparece implícitamente en Abraham de Moivre varias veces desde desde 1707,[3]​ en su trabajo sobre las raíces n-ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cos(nx) + i sin(nx).

ObtenciónEditar

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

 

aplicando leyes de la exponenciación

 

Entonces, por la fórmula de Euler,

 .

Algunos resultadosEditar

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

 

Si hacemos que   entonces tenemos la identidad de Euler:

 

Es decir:

 

Además como tenemos estas dos igualdades:

 
 

podemos deducir lo siguiente:

 
 

Demostración por inducciónEditar

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

 

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

 

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que  , y (por convención)  .


Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:

 

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.

GeneralizaciónEditar

  La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

 

es una función multivaluada mientras

 

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

      es un valor de      .

AplicacionesEditar

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

 

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)

PotenciaEditar

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

 

RaícesEditar

Para obtener las   raíces de un número complejo, se aplica:

 

donde   es un número entero que va desde   hasta  , que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las   raíces diferentes de  .

Véase tambiénEditar

Enlaces externosEditar



  1. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 8 (« De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis »), § 133.
  2. Énoncée plus que démontrée selon Flament, 2003, p. 61.
  3. Desde 1707, en los Philosophical Transactions, n° 309, art. 3, Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures (aperçu, p. 444, en Google Libros), después en 1730 en sus Miscellanea Analytica, Londres, p. 1-2 y en las Philosophical Transactions de 1738, n° 451, problema III (Plantilla:Google Livres).