Fórmula de Faulhaber

En Matemáticas, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expresa la suma de las potencias de los primeros n números naturales

como un polinomio en n de grado cuyos coeficientes se construyen a partir de los números de Bernoulli: .

La fórmula es la siguiente:

Faulhaber no conoció nunca esta fórmula general; lo que sí conoció fueron al menos los primeros 17 casos y el hecho de que, si el exponente es impar, entonces la suma es una función polinomial de la suma en el caso especial en el que el exponente sea 1. También hizo algunas generalizaciones (véase Knuth).

La demostración de la fórmula de Faulhaber se puede encontrar en The Book of Numbers de John Horton Conway y Richard Guy.


Los primeros casosEditar

 
 
 
 
 
 

Forma alternativaEditar

Si el índice de suma de la serie va desde 1 hasta   en vez desde 1 hasta n, estas fórmulas se modifican de tal manera que el único cambio es que tomamos   en vez de +1/2 (es decir, en este caso en la fórmula sólo intervienen números de Bernoulli); así, el segundo término de mayor orden en todos los resultados anteriores cambia el signo de suma por el de diferencia.

Relación con los polinomios de BernoulliEditar

La fórmula de Faulhaber se puede escribir en función de los polinomios de Bernoulli así:

 

Forma UmbralEditar

En el cálculo umbral clásico, se trata formalmente a los índices j en una secuencia   como si estos fueran exponentes. Haciendo esto, podemos aplicar el teorema del binomio y obtener:

 


 

En el cálculo umbral moderno, se construye el funcional lineal T en el espacio vectorial de polinomios en una variable b dada por:

 

Entonces se obtiene

 


 

Polinomios de FaulhaberEditar

Faulhaber observó que, si p es impar, entonces

 

es un polinomio en a, donde a es la suma de los n primeros naturales:

 

En particular se tiene:

 


 


 


 


 

La primera de estas identidades es el teorema de Nicomachus. Algunos autores llaman a los polinomios de la derecha de estas identidades "polinomios de Faulhaber en a".

ReferenciasEditar

  • MathWorld: urlname: FaulhabersFormula. Faulhaber's formula
  • "Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden", Academia Algebrae, Johann Faulhaber, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631.
  • Schumacher, Raphael (2016). «An Extended Version of Faulhaber’s Formula». Journal of Integer Sequences 19.