Fórmula de Perron

En matemática, y más precisamente en teoría analítica de números, la fórmula de Perron es una fórmula dada por Oskar Perron para calcular la suma de una función aritmética, mediante el uso de una transformada de Mellin inversa.

EnunciadoEditar

Sea   una función aritmética, y sea

 

su correspondiente serie de Dirichlet. Presuma la serie de Dirichlet de ser absolutamente convergente para  . Entonces la fórmula de Perron es

 

Aquí, la estrella sobre el sumatorio indica que el último término de la suma debe ser multiplicado por 1/2 cuando x sea un entero. La fórmula requiere que   y   real, pero de otra manera arbitraria.

DemostraciónEditar

Un sencillo esbozo de demostración proviene de tomar la fórmula de sumación de Abel

 

Esto no es sino una transformada de Laplace bajo el cambio de variable   Invirtiéndolo se obtiene la fórmula de Perron.

EjemplosEditar

Debido a su relación general con series de Dirichlet, la fórmula es aplicada comúnmente a varias sumas relacionadas con la teoría de números. Así, por ejemplo, se obtiene la famosa representación integral para la función zeta de Riemann:

 

y una fórmula similar para las funciones L de Dirichlet:

 

donde

 

y   es un carácter de Dirichlet. Otros ejemplos aparecen en los artículos de la función de Mertens y la función de von Mangoldt.

ReferenciasEditar