Forma indeterminada

(Redirigido desde «Formas indeterminadas»)

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

InterpretaciónEditar

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

 

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminadoEditar

La forma 0/0Editar

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a  , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0,   o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

 
 

La forma ∞/∞Editar

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

 
 

Producto indeterminadoEditar

La forma indeterminada 0 • ∞

 


 

Diferencia indeterminadaEditar

En los casos en que el límite de una diferencia es  , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo  . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminadaEditar

  • La forma 00
 
  • La forma ∞0
  • La forma 1

Ejemplo: el siguiente límite[1]

 , es de la forma  ; considerando
 

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

  aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
  de manera que el límite sería
 

Tabla de formas indeterminadasEditar

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada Condiciones Transformación a 0/0 Transformación a ∞/∞
   
 
     
       
       
       
       
       

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Kong, Maynard, Cálculo Diferencial, ISBN 9972-42-194-5, pg. 384