Forzado (matemáticas)

técnica inventada por Paul Cohen para demostrar la coherencia y la independencia de los resultados

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos, el forzado es una técnica empleada para probar la consistencia y la independencia de diversos resultados.[1]​ Fue utilizada por primera vez por Paul Cohen en 1963, para demostrar la independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

El procedimiento de forzado ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica potente, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática como la teoría de la computabilidad. La teoría descriptiva de conjuntos usa las nociones de forzado tanto de la teoría de recursividad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en teoría de modelos, pero es común en la teoría de modelos definir el carácter genérico directamente sin mencionar el forzado.

Concepto intuitivoEditar

Intuitivamente, el forzado consiste en expandir el conjunto universo teórico   a un universo mayor  . En este universo más grande, por ejemplo, se podría disponer de muchos subconjuntos nuevos de     que no estaban en el universo antiguo y, por lo tanto, violar la hipótesis del continuo.

Si bien es imposible cuando se trata de conjuntos finitos, esta es solo otra versión de la paradoja de Cantor sobre el infinito. En principio, se podría considerar que:

 

identifique   con   y luego introduzca una relación de membresía ampliada que incluya conjuntos nuevos de la forma  . El forzado es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido.

La técnica original de Cohen, ahora llamada forzado ramificado, es ligeramente diferente del forzado sin ramificar expuesto aquí. El forzado también es equivalente al método de modelo booleano-evaluado, que en algunos casos se considera más natural e intuitivo conceptualmente, pero por lo general mucho más difícil de aplicar.

Conjunto parcialmente ordenado forzadoEditar

Un conjunto parcialmente ordenado forzado es un triplete ordenado,  , donde   es un preorden sobre   sin átomos, lo que significa que satisface la siguiente condición:

  • Para cada  , existen   tales que  , pero sin un elemento   tal que  . El elemento más grande de   es  , es decir,   para todos los  .

Los miembros de   se denominan condiciones forzadas o simplemente condiciones. Entonces se entiende que   implica que "  es más fuerte que  ". Intuitivamente, la condición "menor" proporciona "más" información, al igual que el intervalo menor   proporciona más información sobre el número   que el intervalo  .

Hay varias convenciones en uso. Algunos autores requieren que la relación   también sea antisimétrica, por lo que la relación es un orden parcial. Ocasionalmente se usa el término conjunto parcialmente ordenado de todos modos, en conflicto con la terminología estándar, mientras que también se usa el término conjunto preordenado. Se puede prescindir del elemento más grande. También se utiliza el orden inverso, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores.

Nombres PEditar

Asociada con un conjunto parcialmente ordenado forzado   está la clase   de  -nombres. Un nombre   es un conjunto   de la forma

 

En realidad, esta es una definición por recursividad transfinita. Más precisamente, se usa en primer lugar la inducción transfinita para definir la siguiente jerarquía:

 

Entonces la clase de nombres   se define como

 

Los nombres   son, de hecho, una expansión del universo. Dado  , se define   como el nombre  

 

Una vez más, esta es realmente una definición por recursividad transfinita.

InterpretaciónEditar

Dado cualquier subconjunto   de  , a continuación se define la aplicación de interpretación o valoración de los nombres   por

 

Esta es de nuevo una definición por recursividad transfinita. Téngase en cuenta que si  , entonces  . Luego se define

 

para que  .

EjemploEditar

Un buen ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado forzado es  , donde   y   es la colección de los subconjuntos de Borel de   que tienen medida de Lebesgue distinta de cero. En este caso, se puede hablar de las condiciones como probabilidades, y un nombre   asigna membresía en un sentido probabilístico. Debido a la intuición que este ejemplo puede proporcionar, el lenguaje probabilístico a veces se usa con otros postulados de forzado divergentes.

Modelos transitivos contables y filtros genéricosEditar

El paso clave para el forzado es, dado un universo    , encontrar un objeto apropiado   que no esté en  . La clase resultante de todas las interpretaciones de los nombres   será un modelo de   que amplía adecuadamente el   original (desde  ).

En lugar de trabajar con  , es útil considerar un modelo transitivo contable   con  . "Modelo" se refiere a un modelo de la teoría de conjuntos, ya sea de todo  , o de un modelo de un subconjunto grande pero finito de  , o alguna variante del mismo. "Transitividad" significa que si  , entonces  . El lema de colapso de Mostowski establece que esto se puede asumir si la relación de membresía está bien fundada. El efecto de la transitividad es que la membresía y otras nociones elementales pueden manejarse intuitivamente. El carácter de contable del modelo se basa en el teorema de Löwenheim-Skolem.

Como   es un conjunto, hay conjuntos que no están en  ; esto se deriva de la paradoja de Russell. El conjunto propio   para seleccionar y adjuntar a   es un filtro genérico en  . La condición de "filtro" significa que:

  •  
  •  
  • si  , entonces  
  • si  , entonces existe un   tal que  

Que   sea "genérico", significa que:

  • Si   es un subconjunto "denso" de   (es decir, para cada  , existe un   tal que  ), entonces  .

La existencia de un filtro genérico   se deriva del lema de Rasiowa-Sikorski. De hecho, es cierto algo más: dada una condición  , se puede encontrar un filtro genérico   tal que  . Debido a la condición de división en   (anteriormente denominada "sin átomos"), si   es un filtro, entonces   es denso. Si  , entonces   porque   es un modelo de  . Por esta razón, un filtro genérico nunca está en  .

ForzadoEditar

Dado un filtro genérico  , se procede de la siguiente manera. La subclase de nombres   en   se denota como  . Sea

 

Para reducir el estudio de la teoría de conjuntos de   al de  , se trabaja con el "lenguaje forzado", que se construye como una lógica de primer orden ordinaria, con la pertenencia como relación binaria y todos los nombres   como constantes.

Se define   (que debe leerse como "  fuerza a   en el modelo   con el conjunto parcialmente ordenado  "), donde   es una condición,   es una fórmula en el lenguaje forzado y los   son nombres de  , lo que significa que si   es un filtro genérico que contiene  , entonces  . El caso especial   se escribe a menudo como " " o simplemente " ". Tales declaraciones son verdaderas en  , sin importar lo que sea  .

En resumen,   es desconocido en   ya que depende de  , pero no es completamente desconocido para un forzado de conjunto de cadena contable (c.c.c.). Se puede identificar un conjunto contable de conjeturas sobre que es el valor de   en cualquier entrada, independientemente de  .

Lo importante es que esta definición externa de la relación de forzamiento   es equivalente a una definición interna dentro de  , definida por inducción transfinita sobre los nombres   en instancias de   y  , y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de las fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de   son realmente propiedades de  , y la verificación de   en   se vuelve sencilla. Esto generalmente se resume en las siguientes tres propiedades clave:

  • Verdad:   bicondicional es forzado por  , es decir, para alguna condición  , se tiene que  .
  • Definibilidad: La declaración " " se puede definir en  .
  • Coherencia:  .

Se define la relación de forzado   en   por inducción sobre la complejidad de fórmulas, en la que primero se da la relación para fórmulas atómicas por inducción   y luego se implementa para fórmulas arbitrarias por inducción sobre su complejidad.

Primero se define la relación de forzado en fórmulas atómicas, haciéndolo para ambos tipos de fórmulas,   y  , simultáneamente. Esto significa que se define una relación   donde   denota el tipo de fórmula de la siguiente manera:

  1.   significa  .
  2.   significa  .
  3.   significa  .

Aquí   es una condición y   y   son nombres  . Sea   una fórmula definida por la inducción de  :

R1.   si y solo si  .

R2.   si y solo si  .

R3.   si y solo si  .

Más formalmente, se usa la siguiente relación binaria  -nombres: sea   válido para los nombres   y   si y solo si   para al menos una condición  . Esta relación está bien fundada, lo que significa que para cualquier nombre   la clase de todos los nombres  , tal que   tiene, es un conjunto y no hay ninguna función   tal que  .

En general, una relación bien fundada no es un preorden, porque podría no ser transitiva. Pero, si se considera como un "ordenamiento", es una relación sin infinitas secuencias decrecientes y donde para cualquier elemento la clase de elementos por debajo es un conjunto.

Es fácil cerrar cualquier relación binaria de transitividad. Para los nombres   y  ,   se cumple si hay al menos una secuencia finita   (como aplicación con dominio  ) para algunos   tales que  ,   y se cumple para algún  , que  .

Este ordenamiento también está bien fundado.

Definimos el siguiente orden bien definido en pares de nombres:   si se cumple uno de los siguientes:

  1.  ,
  2.   y  ,
  3.   y   y  .

La relación   se define por recursividad en pares   de nombres. Para cualquier par, se define por la misma relación en pares "más simples". En realidad, por el teorema de recursividad hay una fórmula   tal que R1, R2 y R3 son teoremas porque su valor de verdad en algún punto está definido por sus valores de verdad en puntos "más pequeños" en relación con alguna relación bien fundada utilizada como "ordenar". Ahora, se está preparados para definir la relación forzada:

  1.   significa  .
  2.   significa  .
  3.   significa  .
  4.   significa  .
  5.   significa  .

En realidad, esta es una transformación de una fórmula arbitraria   a la fórmula   donde   y   son variables adicionales. Esta es la definición de la relación de forzado en el universo   de todos los conjuntos independientemente de cualquier modelo transitivo contable. Sin embargo, existe una relación entre esta formulación "sintáctica" de forzado y la formulación "semántica" de forzado sobre algún modelo transitivo contable  .

1. Para cualquier fórmula   existe un teorema   de la teoría   (por ejemplo, conjunción de un número finito de axiomas) tal que para cualquier modelo transitivo contable   tal que   y cualquier orden parcial sin átomos   y cualquier  -filtro genérico   sobre  

 

Esto se denomina propiedad de definibilidad de la relación de forzado.

ConsistenciaEditar

La discusión anterior se puede resumir en el resultado de consistencia fundamental de que, dado un conjunto parcialmente ordenado forzado  , se puede asumir la existencia de un filtro genérico  , que no pertenece al universo  , de modo que   es nuevamente un universo de teoría de conjuntos que modela  . Además, todas las verdades en   pueden reducirse a verdades en   que involucran la relación forzada.

Ambos estilos, junto a   a un modelo transitivo contable   o al universo completo  , se utilizan comúnmente. Es menos común el enfoque que utiliza la definición "interna" de forzado, en la que no se hace mención de modelos de conjuntos o clases. Este fue el método original de Cohen, y en una elaboración, se convierte en el método de análisis con valores booleanos.

Forzado de CohenEditar

El el conjunto parcialmente ordenado forzado no trivial más simple es  , las funciones parciales finitas de   a   bajo la inclusión "inversa". Es decir, una condición   es esencialmente dos subconjuntos finitos disjuntos   y   de  , que deben considerarse como las partes "sí" y "no" de  , sin información proporcionada sobre valores fuera del dominio de  . "  es más fuerte que  " significa que  , en otras palabras, las partes "sí" y "no" de   son superconjuntos de las partes "sí" y "no" de  , y en ese sentido, brindan más información.

Sea   un filtro genérico para este conjunto parcialmente ordenado. Si   y   están ambos en  , entonces   es una condición porque   es un filtro. Esto significa que   es una función parcial bien definida de   a   porque dos condiciones cualesquiera en   coinciden en su dominio común.

De hecho,   es una función total. Dado  , sea  . Entonces   es denso. (Dado cualquier  , si   no está en el dominio de  , se adjunta un valor para  ; el resultado está en  .) Una condición   tiene   en su dominio y, desde  , se tiene que   está definido.

Sea  , el conjunto de todos los miembros "sí" de las condiciones genéricas. Es posible dar un nombre a   directamente. Sea

 

Entonces   Ahora supóngsea que   en  . Se afirma que  . Sea ahora

 

Entonces   es denso. (Dado cualquier  , buscar un   que no esté en su dominio y adjúntese un valor para   contrario al estado de " "). Entonces cualquier   presencia  . Para resumir,   es un subconjunto "nuevo" de  , necesariamente infinito.

Reemplazando   por  , es decir, considerando en su lugar funciones parciales finitas cuyas entradas son de la forma  , con   y  , y cuyas salidas son   o  , se obtienen   nuevos subconjuntos de  . Todos son distintos, por un argumento de densidad: dado  , entonces

 

de forma que cada   es denso, y una condición genérica en él prueba que el α-ésimo nuevo conjunto no está de acuerdo con el nuevo conjunto  .

Esta no es todavía la falsificación de la hipótesis del continuo. Se debe probar que no se han introducido nuevas aplicaciones que hagan corresponder   en  , o   en  . Por ejemplo, si se considera en su lugar  , funciones parciales finitas de   a  , el primer ordinal no numerable, se obtiene en   una biyección de   a  . En otras palabras,   está "colapsado", y en la extensión forzada, es un ordinal contable.

El último paso para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo, entonces, es mostrar que el forzado de Cohen no colapsa los cardinales. Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todos las anticadenas del conjunto parcialmente ordenado forzado son contables.

Condición de cadena contableEditar

Una anticadena fuerte   de   es un subconjunto tal que si  , entonces   y   son incompatibles (escrito  ), lo que significa que no hay   en   tal que   y  . En el ejemplo de conjuntos de Borel, la incompatibilidad significa que   tiene medida cero. En el ejemplo de funciones parciales finitas, la incompatibilidad significa que   no es una función, en otras palabras,   y   asignan valores diferentes a alguna entrada de dominio.

  satisface la condición de cadena contable (c.c.c.) si y solo si cada anticadena en   es contable (el nombre, que obviamente es inapropiado, es un vestigio de terminología más antigua. Algunos matemáticos escriben "c.a.c." por "condición de anticadena contable").

Es fácil ver que   satisface el c.c.c. porque las medidas suman como máximo  . Además,   satisface la c.c.c., pero la prueba es más difícil.

Dada una subfamilia incontable  , reduzca   a una subfamilia incontable   de conjuntos de tamaño  , para algunos  . Si   para innumerables  , se reduce esto a una subfamilia incontable   y repita, obteniendo un conjunto finito   y una familia incontable   de condiciones incompatibles de tamaño   de modo que cada   esté en   durante como máximo muchos   contables. Ahora, elíjase un   arbitrario y elíjase de   cualquier   que no sea uno de los innumerables miembros que tienen un miembro de dominio en común con  . Entonces   y   son compatibles, por lo que   no es una anticadena. En otras palabras,  -anticadenas son contables.

La importancia de las anticadenas en el forzado es que para la mayoría de los propósitos, los conjuntos densos y las anticadenas máximas son equivalentes. Una anticadena "máxima"   es aquella que no se puede extender a una anticadena más grande. Esto significa que cada elemento   es compatible con algún miembro de  . La existencia de una anticadena máxima se deriva del lema de Zorn. Dada una anticadena máxima  , sea

 

Entonces   es denso, y   si y solo si  . Por el contrario, dado un conjunto denso  , el Lema de Zorn demuestra que existe una anticadena máxima  , y entonces   si y solo si  .

Supóngase que   satisface la c.c.c. Dado  , con   una función en  , se puede aproximar   dentro de   de la siguiente manera. Sea   un nombre para   (según la definición de  ) y sea   una condición que obligue a   a ser una función de   a  . Defínase una función  , cuyo dominio es  , por

 

Por la definibilidad de forzado, esta definición tiene sentido dentro de  . Por la coherencia del forzado, un   diferente proviene de un   incompatible. Por la c.c.c.,   es contable.

En resumen,   es desconocido en   ya que depende de  , pero no es completamente desconocido para un forzado de la c.c.c. Se puede identificar un conjunto contable de conjeturas sobre cuál es el valor de   en cualquier entrada, independientemente de  .

Esto tiene la siguiente consecuencia muy importante. Si en  ,   es una sobreyección de un ordinal infinito a otro, entonces existe una sobreyección   en   y, en consecuencia, una sobreyección   en  . En particular, los cardinales no pueden colapsar. La conclusión es que   en  .

Forzado de EastonEditar

El valor exacto del continuo en el modelo de Cohen anterior, y variantes como   para los cardinales   en general, fue elaborado por Robert M. Solovay, quien también descubrió cómo violar   (la hipótesis del continuo generalizado), solo para un cardinal regular, y un número finito de veces. Por ejemplo, en el modelo de Cohen anterior, si   se mantiene en  , entonces   se mantiene en  .

William B. Easton elaboró la versión de clase adecuada capaz de violar el   para los cardinales regulares, básicamente mostrando que las restricciones conocidas, (monotonicidad, teorema de Cantor y teorema de König), eran las únicas restricciones demostrables por   (véase teorema de Easton).

El trabajo de Easton fue notable porque implicó el forzado con una clase adecuada de condiciones. En general, el método de forzado con una clase adecuada de condiciones no da un modelo de  . Por ejemplo, el forzado con  , donde   es la clase adecuada de todos los ordinales, hace que el continuo sea una clase adecuada. Por otro lado, el forzado con   introduce una enumeración contable de los ordinales. En ambos casos, el   resultante no es visiblemente un modelo de  .

En un momento, se pensó que un forzado más sofisticado también permitiría una variación arbitraria en las potencias de los cardinales singulares. Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varios restricciones probables más en   y con los modelos de forzado dependiendo de la consistencia de varias propiedades de un gran cardinal. todavía quedan muchos problemas abiertos en este campo.

Reales aleatoriosEditar

El forzado aleatorio se puede definir como el forzado sobre el conjunto   de todos los subconjuntos compactos de   de medida positiva ordenados por relación   (el conjunto más pequeño en el contexto de inclusión es un conjunto más pequeño en el orden y representa la condición con más información). Hay dos tipos de conjuntos densos importantes:

1. Para cualquier entero positivo  , el conjunto

 

es denso, donde   es el diámetro del conjunto  .

2. Para cualquier subconjunto de Borel   de medida 1, el conjunto

 

es denso.

Para cualquier filtro   y para un número finito de elementos   hay   tal que contiene  . En el caso de este orden, esto significa que cualquier filtro es un conjunto de conjuntos compactos con la propiedad de intersección finita. Por esta razón, la intersección de todos los elementos de cualquier filtro no está vacía. Si   es un filtro que cruza el conjunto denso   para cualquier entero positivo  , entonces el filtro   contiene condiciones de diámetro positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, la intersección de todas las condiciones de   tiene diámetro 0. Pero los únicos conjuntos no vacíos de diámetro 0 son únicos. Entonces, hay exactamente un número real   tal que  .

Sea   cualquier conjunto de medidas de Borel 1. Si   se cruza con  , entonces  .

Sin embargo, un filtro genérico sobre un modelo transitivo contable   no está en  . El   real definido por   probablemente no es un elemento de  . El problema es que si  , entonces   "  es compacto", pero desde el punto de vista de un universo mayor  ,   puede no ser compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico   está realmente vacía. Por esta razón, se considera el conjunto   de cierres topológicos de condiciones de G. Debido a   y la propiedad de intersección finita de  , el conjunto   también tiene la propiedad de intersección finita. Los elementos del conjunto   son conjuntos cerrados delimitados como cierres de conjuntos delimitados. Por lo tanto,   es un conjunto de conjuntos compactos con la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, tiene una intersección no vacía. Dado que   y el modelo de base   heredan una métrica del universo  , el conjunto   tiene elementos de diámetro arbitrariamente pequeño. Finalmente, hay exactamente un real que pertenece a todos los miembros del conjunto  . El filtro genérico   se puede reconstruir a partir de   como  .

Si   es el nombre de  , y para   contiene   "  es el conjunto de medida 1 de Borel", entonces se mantiene que

 

para algunos  . Hay un nombre   tal que para cualquier filtro genérico   se mantiene que

 

Luego

 

se mantiene para cualquier condición  .

Cada conjunto de Borel puede construirse, de forma no única, a partir de intervalos con puntos finales racionales y aplicando las operaciones de complemento y uniones contables, un número contable de veces. El registro de tal construcción se denomina "código de Borel". Dado un conjunto de Borel   en  , se recupera un código de Borel y luego se aplica la misma secuencia de construcción en  , obteniendo un conjunto de Borel  . Se puede demostrar que se obtiene el mismo conjunto independientemente de la construcción de  , y que las propiedades básicas se preservan. Por ejemplo, si  , entonces  . Si   tiene medida cero,   tiene medida cero. Esta aplicación   es inyectiva.

Para cualquier conjunto   tal que   y   "  es un conjunto de Borel de medida 1" que contiene  .

Esto significa que   es una "secuencia aleatoria infinita de 0 y 1" desde el punto de vista de  , lo que significa que satisface todas las pruebas estadísticas del modelo de base  .

Entonces, dado  , un real aleatorio, se puede demostrar que

 

Debido a la interdefinibilidad mutua entre   y  , generalmente se escribe   para  .

Dana Scott proporcionó una interpretación diferente de los reales mediate  . Los números racionales en   tienen nombres que corresponden a numerosos valores racionales distintos asignados a una anticadena máxima de conjuntos de Borel; en otras palabras, una determinada función de valor racional en  . Los números reales en   corresponden a los cortes de Dedekind de dichas funciones, es decir, se trata de una función medible.

Modelos con valor booleanoEditar

Quizás más claramente, el método se puede explicar en términos de modelos con valores booleanos. En estos, a cualquier declaración se le asigna un valor de verdad de alguna álgebra booleana completa sin átomos, en lugar de solo un valor verdadero/falso. Luego, se elige un ultrafiltro en esta álgebra booleana, que asigna valores verdadero/falso a los enunciados de la teoría objeto de estudio. El caso es que la teoría resultante tiene un modelo que contiene este ultrafiltro, que puede entenderse como un nuevo modelo obtenido ampliando el anterior con el mencionado ultrafiltro. Al elegir un modelo con valor booleano de una manera adecuada, se puede obtener un modelo que tenga la propiedad deseada. En él, solo las declaraciones que deben ser verdaderas ("forzadas" a ser verdaderas) serán verdaderas, en cierto sentido (ya que tiene esta propiedad de extensión/minimalidad).

Explicación metamatemáticaEditar

Al proceder al forzado, generalmente se busca mostrar que algunas sentencias son consistentes con   (u opcionalmente alguna extensión de  ). Una forma de interpretar el argumento es asumir que   es consistente y luego demostrar que   combinado con la nueva sentencia también es consistente.

Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que solo las piezas finitas son relevantes para la consistencia, ya que, según el teorema de compacidad, una teoría es satisfactoria si y solo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfactorio. Entonces se puede elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender el modelo estudiado. Por lo tanto, asumiendo la consistencia de  , se prueba la consistencia de   extendida por este conjunto infinito.

Explicación lógicaEditar

Por los teoremas de incompletitud de Gödel, no se puede probar la consistencia de una teoría formal suficientemente fuerte, como  , usando solo los axiomas de la teoría misma, a menos que la teoría sea inconsistente. En consecuencia, los matemáticos no intentan probar la consistencia de   usando solo los axiomas de  , o probar que   es consistente para cualquier hipótesis   usando solo  . Por esta razón, el objetivo de una prueba de coherencia es demostrar la coherencia de   en relación con la coherencia de  . Tales problemas se conocen como problemas de consistencia relativa, uno de los cuales demuestra que

(*)  

A continuación se muestra el esquema general de las pruebas de coherencia relativa. Como cualquier prueba es finita, usa solo un número finito de axiomas:

 

Para cualquier prueba dada,   puede verificar la validez de esta prueba. Esto se puede demostrar por inducción sobre la longitud de la prueba.

 

Entonces se resuelve

 

Al demostrar lo siguiente

(**)  

se puede concluir que

 

que es equivalente a

 

lo que da (*). El núcleo de la prueba de coherencia relativa está demostrando (**). Se puede construir una prueba   de   para cualquier subconjunto finito dado   de los axiomas   por medio de instrumentos  , por supuesto. En cualquier caso, no existe una prueba universal de  ).

En  , se puede demostrar que para cualquier condición  , el conjunto de fórmulas (evaluadas por nombres) forzadas por   se cierra deductivamente. Además, para cualquier axioma  ,   prueba que este axioma es impuesto por  . Entonces basta con probar que existe al menos una condición que obliga a  .

En el caso del forzado con valor booleano, el procedimiento es similar: probar que el valor booleano de   no es  .

Otro enfoque utiliza el teorema de reflexión. Para cualquier conjunto finito dado de axiomas  , existe una prueba   de que este conjunto de axiomas tiene un modelo transitivo contable. Para cualquier conjunto finito dado   de axiomas  , hay un conjunto finito   de axiomas   tal que   prueba que si un modelo transitivo contable   satisface  , entonces   satisface  . Demostrando que hay un conjunto finito   de axiomas   tal que si un modelo transitivo contable   satisface  , entonces   satisface la hipótesis  . Entonces, para cualquier conjunto finito dado   de axiomas  ,   prueba que  .

A veces, en (**), se usa una teoría más fuerte   que   para probar que  . Entonces se tiene una prueba de la consistencia de   en relación con la consistencia de  . Téngase en cuenta que  , donde   es   (el axioma de constructibilidad).

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Studia philosophica, Volumen 4. Universidad de Oviedo, Departamento de Filosofía. 2005. Consultado el 16 de mayo de 2021. 

BibliografíaEditar

Enlaces externosEditar