Abrir menú principal
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x e y.

En matemáticas, la función beta[1]​ es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.

DefiniciónEditar

Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

 

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para   e  , dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto  :

 

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables   y  :

 

Pasando a coordenadas polares  ,   esta integral doble arroja

 

Haciendo   obtenemos

 

Definiendo la función beta

 

se obtiene

 

PropiedadesEditar

  1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado
     
  2. La función beta es simétrica
     
  3. Haciendo cambios de variables en la integral que define a la función beta
     
     

DerivadasEditar

Las derivadas de la función beta, pueden expresarse en términos de la función digamma y las funciones poligamma

 

donde   es la función digamma.

AplicaciónEditar

Puesto que  , se deduce de la definición de la función beta y de la primera propiedad enunciada que

 

de donde  .

Supongamos que   es un entero no negativo y queremos calcular

 

Entonces podemos[2]

 

Usando la primera propiedad de la función beta, tenemos

 

De manera que

 

Función beta incompletaEditar

La función beta incompleta, es una generalización de la función beta, se define como

 

Para x = 1, la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta.

La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) es definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:

 

Véase tambiénEditar

NotasEditar

  1. Llamada también funcón beta de Euler o integral de Euler de primera especie
  2. Este resultado es válido, aun si se considera a   como un número complejo cuya parte real es mayor que -1

Enlaces externosEditar