Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos finitos e , entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si e tienen el mismo número de elementos.

ProposiciónEditar

Si   es una función real biyectiva, entonces su función inversa   existe y también es biyectiva.

EjemploEditar

La función:

  con   y  

es biyectiva.

Luego, su inversa:

 

también lo es.

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones Inyectiva
Sobreyectiva    
No sobreyectiva    

EjemplosEditar

Asientos y alumnos en una sala de clase

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante esta emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

  1. Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
  2. Ningún estudiante estaba sentado en más de un asiento,
  3. Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacíos), y
  4. Ningún asiento estaba ocupado por más de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.

Cardinalidad y biyectividadEditar

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función biyectiva   tienen cardinales que cumplen:

 

HomeomorfismoEditar

Se define un homeomorfismo (no confundir con homomorfismo ) como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua. [1]

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Ayala y otros. "Elementos de topología general". ISBN 84-7829-006-0

Enlaces externosEditar