Función digamma

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma:

Función Digamma en el plano complejo. El color de un punto codifica el valor de .Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

donde denota la función gamma.

La función digamma es la primera de las funciones poligamma.

La función digamma también suele denotarse por , o como .

Relación con los números armónicosEditar

La función gamma satisface la ecuación

 

derivando la expresión anterior respecto a   obtenemos

 

dividiendo ambos lados de la igualdad por   obtenemos

 

o

 

Dado que los números armónicos están definidos para   como

 

la función digamma se relaciona con ellos mediante

 

donde   y   es la constante de Euler-Mascheroni.

Representación integralEditar

Si   entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss

 

combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni   tenemos

 

esta integral es el número armónico de Euler   por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como

 

Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia

 

Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente

 

Representación como un productoEditar

La función   es una función entera y puede ser representada por el producto infinito

 

donde   es el  -ésimo cero de   y   es la constante de Euler-Mascheroni.

SeriesEditar

Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma

 

o equivalentemente

 

La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma

 

donde   y   son polinomios de grado  .

Empleando fracciones parciales en   y en el caso en el que las raíces de   son raíces simples,

 

para que la serie converja

 

en caso contrario la serie diverge. Dado que

 

y

 

Con las expansiones en series uno puede obtener

 

Serie de TaylorEditar

La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en  , esta es

 

y converge para   donde   denota la función zeta de Riemann.

Serie de NewtonEditar

La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por

 

donde   es el coeficiente binomial. La expresión anterior puede ser generalizada a

 

donde  

Fórmula de reflexiónEditar

La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,

 

Teorema digamma de GaussEditar

Para   con  , la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales

 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
  • Weisstein, Eric W. «Digamma function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.