Función digamma

En matemáticas, la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma:

Función Digamma $\Psi (s)$ en el plano complejo. El color de un punto $s$ codifica el valor de $\Psi (s)$.Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento.

$\psi (x)={\frac {d\ln \Gamma (x)}{dx}}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

donde $\Gamma$ denota la función gamma.

La función digamma es la primera de las funciones poligamma.

La función digamma también suele denotarse por $\psi _{0}(x)$, $\psi ^{(0)}(x)$ o como $\Psi (x)$.

Relación con los números armónicos

La función gamma satisface la ecuación

$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$

derivando la expresión anterior respecto a $z$ obtenemos

${\begin{aligned}{\frac {d\;\Gamma (x+1)}{dx}}&={\frac {d\left[x\Gamma (x)\right]}{dx}}\\&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\\\Gamma '(x+1)&=x\Gamma '(x)+\Gamma (x)\end{aligned}}$

dividiendo ambos lados de la igualdad por $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ obtenemos

${\begin{aligned}{\frac {\Gamma '(x+1)}{\Gamma (x+1)}}&={\frac {x\Gamma '(x)+\Gamma (x)}{x\Gamma (x)}}\\&={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}+{\frac {1}{x}}\end{aligned}}$

o

$\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$

Dado que los números armónicos están definidos para $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ como

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

la función digamma se relaciona con ellos mediante

${\begin{aligned}\psi (n)&=H_{n-1}-\gamma \\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}-\gamma \end{aligned}}$

donde $H_{0}=0$ y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Representación integral

Si $\operatorname {Re} (x)>0$ entonces la función digamma tiene la siguiente representación integral debida a Gauss

$\psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)dt$

combinando esta expresión con una integral que representa la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ tenemos

$\psi (x+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{x}}{1-t}}\right)dt$

esta integral es el número armónico de Euler $H_{x}$ por lo que la fórmula anterior puede ser escrita como

$\gamma (x+1)=\gamma (1)+H_{x}$

Una consecuencia es la siguiente relación de recurrencia

$\gamma (w+1)-\gamma (x+1)=H_{w}-H_{x}$

Otra representación integral, debido a Dirichlet, es la siguiente

$\gamma (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{x}}}\right)dx$

Representación como un producto

La función $\psi (x)/\Gamma (x)$ es una función entera y puede ser representada por el producto infinito

${\frac {\psi (x)}{\Gamma (x)}}=e^{-2\gamma x}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {x}{x_{k}}}\right)e^{\frac {x}{x_{k}}}$

donde $x_{k}$ es el $k$-ésimo cero de $\psi$ y $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni.

Series

Utilizando fórmula del producto de Euler para la función gamma, junto con la ecuación funcional y una identidad para la constante de Euler-Mascheroni, obtenemos la siguiente expresión para la función digamma

${\begin{aligned}\psi (x+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x}{n(n+x)}}\end{aligned}}$

o equivalentemente

${\begin{aligned}\psi (x)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x-1}{(n+1)(n+x)}}\end{aligned}}$

La identidad anterior puede ser usada para evaluar sumas de la forma

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},$

donde $p(n)$ y $q(n)$ son polinomios de grado $m$.

Empleando fracciones parciales en $u_{n}$ y en el caso en el que las raíces de $q(n)$ son raíces simples,

$u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}$

para que la serie converja

$\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0$

en caso contrario la serie diverge. Dado que

$\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0$

y

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}(\psi (b_{k})+\gamma )\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})\end{aligned}}$

Con las expansiones en series uno puede obtener

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k})\end{aligned}}$

Serie de Taylor

La función digamma tiene una serie zeta racional, dada por la serie de Taylor en $x=1$, esta es

$\psi (x+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-x)^{k}$

y converge para $|x|<1$ donde $\zeta (n)$ denota la función zeta de Riemann.

Serie de Newton

La serie de Newton para la función digamma, en ocasiones llamada como serie de Stern, está dada por

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}$

donde ${\textstyle {\binom {s}{k}}}$ es el coeficiente binomial. La expresión anterior puede ser generalizada a

$\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left[{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right]$

donde $m=2,3,4,\dots$

Fórmula de reflexión

La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot(\pi x)$

Teorema digamma de Gauss

Para $r,m\in \mathbb {Z} ^{+}$ con $r<m$, la función digamma puede ser expresada en términos de la constante de Euler-Mascheroni y un número finito de funciones elementales

$\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \operatorname {sen} \left({\frac {\pi n}{m}}\right)$

Véase también

• Función gamma
• Función trigamma
• Función poligamma

Referencias

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
• Weisstein, Eric W. «Digamma function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q905326
• Multimedia: Digamma function / Q905326