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Funciones elípticas de Jacobi snk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi cnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,05; línea verde: k = 1,05).
Funciones elípticas de Jacobi dnk(x), para diferentes valores del parámetro (línea roja: k = 0,25; línea verde: k = 1,05).

Las funciones elípticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral elíptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre al matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1829).

En física aparecen por ejemplo las oscilaciones de un péndulo con grandes amplitudes sometido a la gravedad, o el movimiento de una peonza asimétrica.

DefiniciónEditar

Considérese la integral elíptica incompleta de primera especie definida como:

 

La inversa de esta función es la primera de las tres funciones elípticas de Jacobi:

 

Las otras dos funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta por las relaciones siguientes:

 

PropiedadesEditar

En primer lugar las funciones elípticas satisfacen un conjunto de identidades análogo al que satisfacen las funciones trigonométricas:

 

En cuanto a los valores particulares se tiene que para u = 0 las funciones valen:

 

Las funciones elípticas pueden considerarse una generalización de las funciones trigonométricas; de hecho cuando k tiende a cero las funciones elípticas de Jacobi se reducen a las funciones trigonométricas convencionales:

 

Las respectivas series de Taylor vienen dadas por:

 
 
 

Doble periodicidadEditar

Una propiedad interesante de las funciones elípticas de Jacobi es que son doblemente periódicas. Tienen un periodo real y otro período complejo:

 
 
 

Donde los valores que definen los períodos viene dados por:

 
 

donde q es el nomo de las funciones   que se relaciona con el módulo de las funciones elípticas mediante la relación:

 

Relaciones entre las funciones elípticasEditar

Algunas relaciones útiles para el "ángulo doble" son:

 

Algunas relaciones que involucran a las funciones elípticas secundarias son:

 
 
 

Fórmulas de adiciónEditar

Análogamente a las fórmulas de adición de ángulos para las fórmulas trigonométricas, para las funciones elípticas de Jacobi pueden establecerse las siguientes relaciones:

 

 

 

Funciones elípticas de Jacobi secundariasEditar

A partir de los cocientes de las funciones de Jacobi anteriormente definidas es común definir otras funciones derivadas. En primer lugar se definen las funciones recíprocas:

 

En segundo lugar los cocientes:

 

Junto con sus respectivas funciones recíprocas:

 

Existen así un total de 12 funciones elípticas de Jacobi.

ReferenciaEditar

BibliografíaEditar

  • Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988, pp. 185-89 ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externosEditar