Función gamma

En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo es positiva, entonces la integral

Función Gamma en el eje real.
Módulo de la función gamma en el plano complejo.

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de . La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

DefiniciónEditar

 
La función gamma en el plano complejo.

La notación   se debe a Legendre. Si la parte real del número complejo   es estrictamente positiva  , entonces la integral

 

converge absolutamente y es conocida como integral de Euler de segundo orden. Utilizando integración por partes se obtiene la siguiente propiedad:

 

Podemos obtener  :

 

Teniendo que   y   entonces

 

para los enteros positivos  .

La función Gamma es una función meromorfa de   con polos simples en   y residuos  .[1]​ Estas propiedades pueden ser usadas para extender   desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Definiciones alternativasEditar

Definición de Euler como un producto infinitoEditar

Para un entero   está el caso

 

si   no es un entero entonces no es posible decir si la ecuación anterior es válida pues aún no (en esta sección) se ha definido la función factorial para no enteros. Sin embargo, podemos obtener una extensión de la función factorial para no enteros insistiendo en que esta ecuación sigue siendo válida cuando un entero arbitrario   es reemplazado por un número complejo arbitrario  

 

multiplicando ambos lados por   tenemos

 

Este producto infinito converge para todos los números complejos   excepto para enteros negativos que falla pues utilizando la relación de recursión   hacia atrás hasta el valor   involucra una división entre cero.

Similarmente para la función gamma, la definición como un productos infinitos debida a Euler es válida para todos los números complejos   excepto para valores enteros no positivos:

 

Definición de WeierstrassEditar

La definición de la función gamma debida Weierstrass es válida para todos los números complejos   excepto para valores enteros no positivos

 

donde   es la constante de Euler-Mascheroni.

En términos de los polinomios generalizados de LaguerreEditar

Una representación de la función gamma incompleta en términos de los polinomios generalizados de Laguerre es

 

que converge para   y  .

PropiedadesEditar

GeneralEditar

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler

 

que implica

 

y la fórmula de duplicación de Legendre

 

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación

 

Una propiedad básica pero muy útil de la función Gamma, que puede obtenerse a partir de la definición en términos de un límite es

 

en particular, con  , este producto es

 

si la parte real es un entero, esto es   entonces

 

siendo  .

Varios límites útiles para aproximaciones asintóticas:

 

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no entero es:

 

La cual puede obtenerse haciendo   en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con   o haciendo la sustitución   en la definición integral de la función Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores no negativos de   se tiene:

 

donde   denota al doble factorial de  .

DerivadaEditar

Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma, por ejemplo:

 

Para un entero positivo  , la derivada de la función gamma puede calcularse como sigue

 

donde   denota la constante de Euler-Mascheroni.

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que la  -ésima derivada de la función gamma viene dada por:

 

ResiduosEditar

La función Gamma tiene un polo de orden 1 en   para todo número entero no negativo. El residuo en cada polo es:

 

El teorema de Bohr-Mollerup dice que, entre todas las funciones que generalizan el factorial de los números naturales a los reales, solo la función Gamma es logarítmicamente convexa, esto es, el logaritmo natural de la función Gamma es una función convexa.

Representación como una integralEditar

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, para representa la función gamma como una integral. Cuando la parte real de   es positiva entonces

 

Cuando la parte real de   es positiva entonces la primera fórmula integral de Binet para la función gamma es

 

la integral de la derecha puede ser interpretada como la Transformada de Laplace, esto es

 

Cuando la parte real de   es positiva entonces la segunda fórmula integral de Binet para la función gamma es

 

Expansión en series de FourierEditar

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión en series de Fourier para  :

 

que por un largo tiempo se le atribuyó a Ernst Kummer quien la demostró en 1847, sin embargo, se descubrió que Carl Johan Malmsten la demostró por primera vez en 1842.

Fórmula de RaabeEditar

En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que

 

para valores  .

En particular, cuando   obtenemos

 

Función PiEditar

Gauss introdujo una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, que en términos de la función Gamma es:

 

Así, la relación de la función Pi con el factorial es más natural que en el caso de la función Gamma pues para cualquier entero no negativo  

 

La fórmula de la reflexión toma la siguiente forma:

 

Donde   es la función sinc normalizada, mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma:

 

En ocasiones se encuentra la siguiente definición

 

donde   es una función entera definida para todo número complejo, pues no tiene polos. La razón de ello es que la función Gamma y, por tanto, la función Pi, no tienen ceros.

Relación con otras funcionesEditar

  • En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior   e inferior   se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.
 
 
  • La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula
 
 
 
 

Fórmula válida sólo si  . También aparece en la ecuación funcional de  :

 

Valores particularesEditar

Algunos valores particulares de la función gamma son

 

AproximacionesEditar

La función Gamma se puede calcular numéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, la aproximación de Lanczos o la aproximación de Spouge.

Para argumentos que sean múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápidamente usando iteraciones de medias aritmético geométricas (véase Valores de la función Gamma).

Debido a que tanto la función Gamma como el factorial crecen muy rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos programas de computación incluyen funciones que devuelven el logaritmo de la función Gamma. Este crece más lentamente, y en cálculos combinatorios es muy útil, pues se pasa de multiplicar y dividir grandes valores a sumar o restar sus logaritmos.

Aplicaciones de la función gammaEditar

Cálculo fraccionarioEditar

La  -ésima derivada de   (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

 

como   entonces

 

donde   puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites. De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de  , de   e inclusive de una constante  :

 
 
 

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Bibliografía utilizadaEditar

  • Artin, Emil (2006). «Exposition by Emil Artin: a selection». En Rosen, Michael, ed. The Gamma function. History of Mathematics (Providence, RI: American Mathematical Society) (30). 
  • Davis, Philip J. (1959). «Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function». Am. Math. Monthly (66): 849-869. 
  • Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Archivado desde el original el 30 de junio de 2006. Consultado el 12 de agosto de 2008. 
  • Havil, Julian (2003). Gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9. 
  • Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. «Introduction to the Gamma Function». Formato HTML

Bibliografía adicionalEditar

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nueva York: Dover. 
  • Arfken, G.; Weber, H. (2000). «Chapter 10». Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. 
  • Hochstadt, Harry (1986). «Chapter 3». The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover. 
  • Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). «Section 6.1». Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 
  • Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, ediciones Schaumm.
  • Makárenko, Krasnov y Kiselev: Funciones de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Enlaces externosEditar