Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria es

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de , permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

En ocasiones se escribe en lugar de y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

CálculoEditar

Si   es una variable aleatoria continua con función de densidad  , entonces la función generadora de momentos viene dada por

 
 

donde   es el  -ésimo momento.   es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de  .

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

 

donde   es la función de distribución. Si   es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

 

donde las   son constantes, entonces la función de densidad de   es la convolución de la función de densidad de cada una de las   y la función generadora de momentos para   viene dada por

 

Para variables aleatorias multidimensionales   con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

 

donde t es un vector y   es el producto punto.

Función Generadora de Momentos para algunas distribucionesEditar

  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .

Relación con otras funcionesEditar

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica
La función característica   está relacionada con la función generadora de momentos via
 
siempre que ambas existan.
Función generadora de probabilidad

La función generador de momentos y la función generadora de probabilidad se relacionan por la igualdad

 

donde

 

siempre que ambas existan.

Véase tambiénEditar