Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria es

siempre que esta esperanza exista.

La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de , permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.[cita requerida]

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde es un vector aleatorio n-dimensional, se usa en lugar de :

En ocasiones se escribe en lugar de y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

CálculoEditar

Si   es una variable aleatoria continua con función de densidad  , entonces la función generadora de momentos viene dada por:

 
 

donde   es el  -ésimo momento.   es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de  .

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

 

donde   es la función de distribución. Si   es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

 

donde las   son constantes, entonces la función de densidad de   es la convolución de la función de densidad de cada una de las   y la función generadora de momentos para   viene dada por

 

Para variables aleatorias multidimensionales   con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

 

donde t es un vector y   es el producto punto.

Función generatriz de momentos para algunas distribucionesEditar

  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .
  • Si   entonces  .

EjemplosEditar

Función generatriz para una variable aleatoria discretaEditar

Si   entonces la función de probabilidad está dada por

 

para   por lo que la función generatriz de momentos es

 

Relación con otras funcionesEditar

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica
La función característica   está relacionada con la función generadora de momentos via
 
siempre que ambas existan.
Función generadora de probabilidad

La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad

 

donde

 

siempre que ambas existan.

Véase tambiénEditar