Función hiperbólica

tipo de función trigonométrica

Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.[1]​ Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

El coseno hiperbólico

La tangente hiperbólica

y otras líneas:

(cotangente hiperbólica)
(secante hiperbólica)[2]
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circularesEditar

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

 

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

 
Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

 

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

 

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

 
 

dado que

 

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

 
 

RelacionesEditar

Ecuación fundamentalEditar

 

Duplicación del argumentoEditar

Se tienen las siguientes fórmulas[3]​ muy similares a sus correspondientes trigonométricas

 
 

que lleva a la siguiente relación:

 

y por otra parte

 
 

que lleva a:

 

se tiene esta otra relación

 

que permite obtener

 

Derivación e integraciónEditar

 
 
 
 
 
 

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadasEditar

Las funciones recíprocas y derivadas de las funciones hiperbólicas son:[4][5]

 

Series de TaylorEditar

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Relación con la función exponencialEditar

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

 

y

 

Éstas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Cálculo de Granville
  2. Matematicas Fundamentales Para Ingenieros. Univ. Nacional de Colombia. ISBN 9789589322734. Consultado el 14 de noviembre de 2017. 
  3. Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 
  4. Purcell, Edwin J. y otro (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. p. 868. ISBN 0-13-111807-2. 
  5. Wikipedia. «Hiperbolic» |url= incorrecta con autorreferencia (ayuda) (en inglés).