Función homogénea

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Definición formalEditar

Supongamos una función cuya definición es   entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo  . Entonces se dice que   es homogénea de grado k si:

 

EjemplosEditar

Las funciones linealesEditar

Cualquier función lineal   es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

 

para todo   y  . Del mismo modo, cualquier función multilineal   es homogénea de grado n, por definición.

 

para todo   y  . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función   entre dos espacios de Banach   y   es homogénea de grado  .

Polinomios homogéneosEditar

Los monomios de   variables reales definen funciones homogéneas . Por ejemplo,

 

es homogénea de grado 10 puesto que:

 

Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,

 

es un polinomio homogéneo de grado 5.

PropiedadesEditar

Supongamos que una función   es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

 .


  • Teorema: Sea   es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden   son funciones homogéneas de grado k-1. es decir

 

Éste resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Demostración
Sea   y la función   homogénea.

Por homogeneidad de la función  se sabe que

 

Se define   como  . Reemplazando la   en la expresión anterior nos queda:

 

Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a  

 

por regla de la cadena la expresión se vuelve:

 

Sustituyendo nuevamente  :

 

 

y finalmente da el resultado que se quiere obtener:

 

Aplicación a las EDOsEditar

La substitución   convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

 

Donde   y   son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

 

ReferenciaEditar

BibliografíaEditar

  • Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

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