Función indicatriz

En matemáticas, una función indicatriz o función característica, es una función definida sobre un conjunto que indica la pertenencia o no en un subconjunto de .

Gráfico de una función indicatriz que muestra a un subconjunto de los puntos de un cuadrado en (en rojo), donde los puntos tienen coordenada z=1 (color ocre), mientras que los puntos del cuadrado tienen coordenada z=0 (rojos).

DefiniciónEditar

La función indicatriz del subconjunto   de un conjunto   es una función:

 

El término de función indicatriz es a veces útil en lugar de función característica, esta denominación evita la confusión con la función característica usada en probabilidades pero puede producir unos nuevo, con la función indicatriz en análisis convexo.

La función   en ocasiones se expresa   ,   o incluso  . (La letra   se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego). Otra forma de notación corresponde al corchete de Iverson en donde escribimos

 .

(Importante: La función   puede ser considerada también como la función identidad en el conjunto  ).

Propiedades básicasEditar

El interés principal de estas funciones es de transformar relaciones entre conjuntos a relaciones entre funciones[1]​.

La función indicatriz o característica de un subconjunto   de un conjunto  , asocia elementos de   al conjunto  .

La correspondencia es sobreyectiva solo cuando   es un subconjunto propio de  . Si  , entonces  . Por un argumento similar, si   entonces  .

En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. " " y " " son intersección y unión respectivamente.

Si   y   son dos subconjuntos de  , entonces

  (intersección de conjuntos)
  (unión de conjuntos)
  (diferencia simétrica de conjuntos)
  (complemento de un conjunto)

Pero si tomamos   como el anillo   con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces:

  (intersección de conjuntos)
  (diferencia simétrica de conjuntos)

mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de   su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de   (con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de   en   con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo   punto a punto sobre todo  .


Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que   es una colección de subconjuntos de  ; si denotamos   como el conjunto de índices, entonces:

  , para todo  .

es claramente un producto de  s y  s. Este producto vale 1 precisamente para los   que no pertenecen a ninguno de los conjuntos   y   en caso contrario. Esto es,

 

Expandiendo el producto del lado izquierdo,

 

donde   es la cardinalidad de  . Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.

Como sugiere el ejemplo anterior, la función indicatriz es un elemento útil para notación en combinatoria. La notación se usa en otras partes también, por ejemplo en teoría de la probabilidad: si   es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad   y   es un conjunto medible, entonces   se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de  :

 

Esta identidad se usa en una prueba simple de la desigualdad de Markov.

En muchos casos, como en teoría del orden, la inversa de la función indicatriz puede definirse.

ContinuidadEditar

Si  : es un subespacio del espacio topológico  : y si el conjunto   tiene la topología discreta (en este caso corresponde a la topología inducida por la topología usual de  ), el conjunto de los puntos de  : en los cuales la función   es discontinua corresponde a la frontera de  :.

MedibleEditar

Si   es un espacio medible, esto es, si Ω es una tribu sobre  , un subconjunto   es un conjunto medible si y solo si la función indicatriz   es una función medible.

Véase tambiénEditar

ReferenciasEditar

  1. Godement, Roger (1998). Analyse mathematique. I : Convergence, fonctions élémentaires, vol. 1 (en francés). Springer. p. 22. ISBN 3-540-63212-3.