Función inversa (análisis matemático)

Una función ƒ y su función inversa ƒ–1. Como ƒ aplica a en 3, la función inversa ƒ–1 retorna 3 en a.

En matemáticas, especialmente en análisis matemático, si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.

Definiciones formalesEditar

Sea   una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto   y cuya imagen sea el conjunto  . Entonces, la función inversa de  , denotada  , es la función de dominio   y codominio   definida por la siguiente regla:

 

Destaquemos que  , al igual que  , es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por   y que cumple:

  •   y
  •  .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativasEditar

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1.   y
  2.  ,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces   es inyectiva y   sobreyectiva, y diremos que   es inversa por la izquierda de  .
  • Si se cumple 2) entonces   es inyectiva y   sobreyectiva, y diremos que   es inversa por la derecha de  .
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces   y   son biyectivas y   es la inversa de  .

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativaEditar

La notación tradicional   puede ser confusa, ya que puede dar a entender   . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

  •  

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número  :

  •  .

Propiedades algebraicasEditar

 
Inversión del orden en la composición de funciones.
  • La función inversa de la composición de dos funciones, siempre que tengan su función inversa, viene dada por la fórmula
 
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
  • La involución: la función inversa de la función inversa de la función f , si existe, es la misma función f.
 
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas:   y  .

Propiedades analíticas de funciones reales de una variableEditar

ContinuidadEditar

  •   y   son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir   así: si   es racional,  , y si es irracional,  . En este caso muy particular  .
  • Además, en tal caso   y   son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).

Gráfica de la función inversaEditar

 
Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.
  • Las gráficas que representan   y   son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta  . En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera   sobre el punto  .   pertenece a la curva de   si y sólo si   pertenece a la de  , porque la primera condición se escribe   y la segunda   y son por definición equivalentes.
  • Las tangentes en   y   tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista  .

DerivaciónEditar

  • f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.
  • Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

EjemplosEditar

 
En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
  • Por construcción misma, la función raíz cuadrada es función inversa de función cuadrática , con dominio restringido a los números reales no negativos,   Es decir, cada una de las dos funciones siguientes son una función inversa de la otra:

 

  • Más generalmente, la función raíz positiva de orden n de un número positivo es la función inversa de la función potencia definida por  .
  • También por construcción, la función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural.
  • Por definiciones muy adecuadas, arccos, arcsen y arctan son las funciones inversas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que facilita hallar sus derivadas:
Para  ,  , y utilizando   se obtiene:  
Para  ,  , y utilizando   se obtiene:  

Se generaliza el concepto de función a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones inversas.

  • En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no puede escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

 

Aunque la función inversa se puede aproximar mediante desarrollo en serie de Taylor:

 

BibliografíaEditar

  • Bartle, Robert G. -Sherbert, Donald R. Introducción al Análisis matematemático de una variable, Noriega Editores, México 1984.
  • Oubiña,Lía : Introducción a la teoría de conjuntos, Eudeba, Buenos Aires.

Véase tambiénEditar