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Ejemplo de función inyectiva no suprayectiva.

En matemáticas, una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función , entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Índice

Definición formalEditar

  • De manera más precisa, la función   es inyectiva si y solo si   son elementos de   tales que, si  , entonces  .
  • O bien, equivalentemente, la función   es inyectiva si y solo si   son elementos diferentes de  , entonces  

Simbólicamente,

 

que es equivalente a su contrarrecíproco

 

Para probar que una función no es inyectiva, basta con hallar dos valores distintos del dominio, cuyas imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividadEditar

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función inyectiva   tienen cardinales que cumplen:

 

Si además existe otra aplicación inyectiva  , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

EjemplosEditar

  • Henderson afirma que para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión SX (el cual envía cualquier elemento s de S para sí mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad XX es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
  • La función h : R → R definida por h(x) = x3  es inyectiva.
  • La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). Sin embargo, la g1 con R como dominio y codominio, definida por g1(x) = x |x|, es inyectiva. No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
  • La función exponencial exp: RR definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
  • El logaritmo natural En la función ln: (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
  • La función g : R → R definida por g(x) = xnx no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En perspectiva geométrica, cuando se establece una función f de X a Y (subconjuntos de R), esta se reconoce como función inyectiva si su gráfica es cortada por una recta horizontal únicamente en un punto. Este principio se conoce como la Prueba de la línea horizontal.[1]

Inyectividad en el espacio euclideoEditar

Dada una función   diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclideo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuando esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

 

donde:

  es la matriz jacobiana de la función.
  es la función determinante.

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

 

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante   si se cumple:

 

Donde:

 , es la clausura topológica del dominio  .

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que   si el dominio   es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere  

ReferenciasEditar

  1. Stewart, James (2003). Single Variable Calculus: Early Transcendentals (5th. edición). Toronto ON: Brook/Cole. p. 64. ISBN 0-534-39330-6. Consultado el 15 de julio de 2012. «Por lo tanto, disponemos del siguiente método geométrico para determinar si una función presenta una correspondencia uno-a-uno.» 

Véase tambiénEditar