Función rectangular

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La función rectangular (también llamada función ventana unitaria o pulso unitario) se define como:[1]

Algunas definiciones alternativas establecen igual a 0, a 1 o lo dejan sin definir.

Relación con la función ventanaEditar

La función rectangular es un caso particular de función ventana:

 

donde la función está centrada tanto en X como en Y y   es la función unitaria de Heaviside.

Relación con la función triangularEditar

La función triangular puede definirse como el producto de convolución de dos funciones rectangulares:

 

Transformada de Fourier de la función rectangularEditar

 
Gráfico de la función sinc(x) que sirve para ilustrar el espectro frecuencial de la señal rectangular periódica

La Transformada Unitaria de Fourier de la función rectangular es expresada mediante estas ecuaciones:[1]

 

en la cual se usa la frecuencia  

y:

 

donde:

 : frecuencia angular

Debe tenerse en cuenta que, aunque la definición de la función de impulsos sólo está motivada por la experiencia de dominio de tiempo de la misma, no hay razón para creer que la interpretación oscilatoria de su función transformada debe ser intuitiva. Sin embargo, algunos aspectos del resultado teórico se pueden entender de manera intuitiva, como el requisito de ancho de banda infinito de la señal rectangular periódica, debido a las transiciones abruptas entre un estado bajo y otro alto, en la definición del dominio de tiempo.

Uso en probabilidadEditar

La visualización de la función rectangular como una función de densidad de probabilidad, es un caso especial de la distribución uniforme continua con  . La función característica es:

 

y su Función generadora de momentos es:

 

en la cual   es la función seno hiperbólico.

Aproximación racionalEditar

La función de pulso rectangular también puede ser expresada como el límite de una función racional:

 

DemostraciónEditar

Primero, se considera el caso en que  . Observe que el término   es siempre positivo para todo número entero   y se aproxima a cero para valores grandes de   ya que  .

De esto se sigue que:

 

En segundo lugar, se considera el caso en el  . También en este caso   siempre es positiva. Sin embargo,   y por lo tanto   crece sin límite para los valores grandes de  .

De aquí se concluye que:

 

En tercer lugar, se considera el caso en el que  . Sustituyendo este valor en la ecuación, se obtiene:

 


Puede verse que esto satisface la definición de la función de pulso.

 

Véase tambiénEditar

Función definida a trozos
Función escalón de Heaviside
Función escalonada
Función identidad
Función signo
Valor absoluto
Función rampa
Funciones de parte entera
Parte fraccionaria
Mantisa

ReferenciasEditar

  1. a b Weisstein, Eric W. (15 de agosto de 2011). «Rectangle Function». Wolfram MathWorld. Wolfram. Consultado el 15 de agosto de 2011.