Funciones de parte entera

En matemáticas, las funciones de parte entera son funciones que toman un número real y devuelven un número entero próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

  • Función techo, que a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso, es decir, el menor número entero igual o mayor que ese número real. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente ceil o Ceil (por ceiling, «techo» en inglés).
  • Función piso (o suelo), que a cada número real asigna el mayor número entero igual o menor que ese número real (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaría al valor -3; o aplicándolo a un caso positivo sería [1.5], este se acercaría al valor 1). Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente floor o Floor («suelo» en inglés).
  • Truncamiento, que a cada número real se le asigna el número entero resultado de ignorar su parte decimal.
  • Redondeo, que a cada número real asigna el número entero más próximo según su parte decimal.

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una [[onda de sierra.. la forma es entera

Función techo editar

 

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

 

Definida:

 

O de otra forma:

 

Se conoce también como función mínimo entero[1]​ o como función entero menor (que es mayor o igual que x)[2]​. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero mayor" debido a que devuelve el entero mayor o igual que x.[3]

Propiedades editar

  • Para cualquier número real se cumple que  .
  • El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y solo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

 

  • La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
  • La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:

 

Estas funciones no son algebraicas ni trascendentes, por lo que son funciones no elementales[4]

Ejemplos editar

Para un número real no entero:

 
 

Para un número entero:

 
 

Función piso/suelo editar

 

La función suelo se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x cuyo conjunto de partida (dominio) y conjunto de llegada (rango) son:

 

y se define como:

 

También se puede expresar como:

 

Se conoce también como función máximo entero[5]​ o como función entero mayor (que es menor o igual que x)[6]​. Precaución: Algunas publicaciones le llaman "función entero menor" debido a que devuelve el entero menor o igual que x.[3]

Propiedades editar

El número real x al que se aplica la función suelo es un número entero si y solo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

 

Podemos deducir que si m y n son números enteros estrictamente positivos coprimos entonces (fórmula de Sylvester):

 .

La fórmula anterior puede ser generalizada para todo m y n enteros estrictamente positivos:[7]

 .

Ejemplos editar

Para un número real no entero:

 
 

Para un número entero:

 
 

Función truncamiento/parte entera editar

 

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[8]​ y techo,[9]​ de la siguiente manera:

 

definida de esta forma:

 

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

Función redondeo editar

 

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.

 

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:

 

Series de expansión editar

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función  , llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,[10]​ y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

  si x no es un número entero.

Usando la expresión   podemos saber la expansión de la función  :

 

Teniendo en cuenta que:  , entonces la expansión de serie de la función techo sería:

 

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión  ; entonces quedaría:

 

Véase también editar

Notas y referencias editar

  1. https://books.google.com.ec/books?id=_SUkc7rVAdUC&pg=PA24
  2. https://www.geogebra.org/m/f3ejt4d7
  3. a b https://silo.tips/download/relaciones-y-funciones-2
  4. N. A. Piskunov: Cálculo difrencial e integral.
  5. Niven- Zuckerman: Introducción a la teoría de números, ISBN 968-18-0669-7, p. 87.
  6. Stewart, James. Cálculo (7ma. edición). p. 105. 
  7. J.E.blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, tesis de maestría, p. 17.
  8. «C++ reference of floor function». Consultado el 24 de abril de 2011. 
  9. «C++ reference of ceil function». Consultado el 24 de abril de 2011. 
  10. Venero: Análisis matemático, Lima (1995)

Enlaces externos editar