Grafo ciclo

En teoría de grafos, un grafo ciclo o simplemente ciclo es un grafo que consiste en un camino simple cerrado, es decir, en el que no se repite ningún vértice, salvo el primero con el último. Un grafo ciclo de n vértices se denota . El número de vértices en un grafo ciclo es igual al número de aristas. En su versión más común, como grafo no dirigido, cada vértice tiene grado 2, por lo que es un grafo 2-regular; en su versión dirigida, en cambio, se trata de un grafo 1-regular.

Grafo ciclo
Undirected 6 cycle.svg
ciclo C6
Vértices n
Aristas n
Cintura n
Automorfismos 2n (Dn)
Número cromático
Índice cromático
  • 2 si n es par
  • 3 si n es impar
  • Propiedades
  • 2-conexo por vértices
  • 2-conexo por aristas
  • 2-regular
  • Euleriano
  • Hamiltoniano
  • orientable
  • Definición formalEditar

    Si   es un grafo ciclo  , el grafo tiene   vértices   y   aristas formadas de la siguiente manera:

     

    PropiedadesEditar

    Un grafo ciclo es:

    2-conexoEditar

    En efecto, si tomamos 2 vértices cualquiera, siempre hay 2 caminos disjuntos (sin vértices comunes a excepción de los vértices extremos) que los conectan. Luego, por el Teorema de Whitney (1932), los ciclos tienen índice de conexión:  .

    Los ciclos son también 2-conexo por aristas, en efecto, dado 2 vértices cualquiera, siempre hay 2 caminos distintos (sin aristas comunes entre ambos) que los conectan. Luego, por el Teorema de Menger (1927), los ciclos tienen índice de arista conexión:  .

    Los ciclos al tener el índice de arista conexión igual a 2 carecen de aristas puentes.

    2-regularEditar

    Es claro que los ciclos son 2-regulares, ya que dado un ciclo de n vértices, todos sus grados son iguales a dos:   con i=1,...,n

    EulerianoEditar

    En efecto, los ciclos al ser conexos y 2-regulares satisfacen el Teorema de Euler(1736)-Hierholzer(1873). Luego, los ciclos contienen un Circuito euleriano.

    HamiltonianoEditar

    Es fácil ver que también contienen un ciclo hamiltoniano.

    ColoraciónEditar

     

    Coloración por aristasEditar

     

    Grafo ciclo dirigidoEditar

     
    Un Grafo ciclo dirigido de longitud 8.

    Un grafo ciclo dirigido es una versión dirigida de un grafo ciclo, con todas las aristas orientadas hacia una misma dirección.

    En un grafo ciclo dirigido, el grado de salida del vértice es 1 y el de entrada también es 1.

     

    Si las aristas del grafo no están orientadas en una misma dirección, entonces se habla de «semiciclo» en lugar de «ciclo».[1]

    Grafos ciclo signadosEditar

    El signo de un grafo ciclo signado o con signos es igual al producto de los signos de las aristas incluidas en el grafo, calculado de acuerdo a una conjunción lógica:[1]

    • (+)(+) = +
    • (+)(–) = –
    • (–)(+) = –
    • (–)(–) = +

    Por lo tanto, un grafo ciclo con un número par de aristas negativas tendrá un signo positivo, y un grafo ciclo con un número impar de aristas negativas, tendrá un signo negativo. Note que todo lo anterior se mantiene para un grafo semiciclo dirigido.[1]

    Véase tambiénEditar

    ReferenciasEditar

    1. a b c Wasserman y Faust, 2013, «Grafos y matrices» (por Dawn Iacobucci), pp. 121-188.

    BibliografíaEditar

    • Wasserman, Stanley; Faust, Katherine (2013) [1994]. Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. ISBN 978-84-7476-631-8. OCLC 871814053. 

    Enlaces externosEditar