Grupo de Prüfer

En matemáticas, y en especial en teoría de grupos, el p-grupo de Prüfer, grupo p-cuasicíclico o el p-grupo, Z(p), para un número primo p es el único p-grupo en el que cada elemento tiene p p-ésimas raíces. El grupo se llama en honor a Heinz Prüfer. Es un grupo abeliano numerable que juega un importante papel en la clasificación de grupos abelianos infinitos.

El 2-grupo de Prüfer. <gn: gn+12 = gn, g12 = 1>

El p-grupo de Prüfer puede ser representado como un subgrupo del grupo circular, U(1), como el conjunto de las pnésimas raíces de la unidad con n que se extiende sobre todos los enteros no negativos:

Alternativamente, el p-grupo de Prüfer puede ser visto como el p-subgrupo de Sylow de Q/Z, que consiste en aquellos elementos cuyo orden es una potencia de p:

Hay una presentation (escrita aditivamente)

El p-grupo de Prüfer es el único p-grupo infinito que es localmente cíclico (cada conjunto finito de elementos genera un grupo cíclico).

El p-grupo Prüfer es divisible.

En el lenguaje del álgebra universal, un grupo abeliano es subdirectamente irreducible si y sólo si éste es isomorfo a un p-grupo finito o isomorfo a un grupo de Prüfer.

En la teoría de grupos topológicos localmente compactos el p-grupo de Prüfer (dotado con la topología discreta) es el dual de Pontryagin del grupo compacto de los enteros p-ádicos, y el grupo de enteros p-ádicos es el dual de Pontryagin dual del p-grupo de Prüfer.[1]

Los p-grupos de Prüfer para todos los primos p son los únicos grupos infinitos cuyos subgrupos son totalmente ordenados por inclusión. Como no hay un subgrupo máximo de un p-grupo de Prüfer, éste es su propio subgrupo de Frattini.

Esta sucesión de inclusiones expresa al p-grupo de Prüfer como el límite directo de sus subgrupos finitos.

Como un -módulo, el p-grupo de Prüfer es artiniano, pero no noetheriano, y del mismo modo, como grupo, es artiniano pero no noetheriano.[2][3]​ Por lo tanto, se puede utilizar como un contraejemplo en contra de la idea de que cada módulo artiniano es noetheriano (considerando que todo anillo artiniano es noetheriano).

Véase tambiénEditar

  • Enteros p-ádicos, los cuales pueden definirse como el límite inverso de los subgrupos finitos del p-grupo de Prüfer.
  • Fracción diádica, números racionales de la forma a/2b. El 2-grupo de Prüfer puede ser visto como las fracciones diádicas módulo 1.

NotasEditar

  1. D. L. Armacost and W. L. Armacost, "On p-thetic groups", Pacific J. Math., 41, no. 2 (1972), 295–301
  2. Los subgrupos de un grupo abeliano son abelianos, y coinciden con los submódulos como en un  -módulo.
  3. Véase también Jacobson (2009), p. 102, ex. 2.

ReferenciasEditar